Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16315 / 12006
↖ ↑ ↗
← N 43.277205°
W  0.758056°		 ← 889.36 m → N 43.277205°
W  0.747071°		 →
↑
889.46 m
↓
↑
889.46 m
↓
N 43.269206°
W  0.758056°		 ← 889.48 m →
791 100 m²		 N 43.269206°
W  0.747071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497909545898438 y=0.366409301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497909545898438 × 215)
    floor (0.497909545898438 × 32768)
    floor (16315.5)     		tx = 16315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366409301757812 × 215)
    floor (0.366409301757812 × 32768)
    floor (12006.5)     		ty = 12006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16315 / 12006 ti = "15/16315/12006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16315/12006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16315 ÷ 215
    16315 ÷ 32768     		x = 0.497894287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12006 ÷ 215
    12006 ÷ 32768     		y = 0.36639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497894287109375 × 2 - 1) × π
    -0.00421142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01323058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36639404296875 × 2 - 1) × π
    0.2672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.839470986146423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01323058} λ = -0.01323058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839470986146423))-π/2
    2×atan(2.31514191062746)-π/2
    2×1.16306302535502-π/2
    2.32612605071004-1.57079632675     		φ = 0.75532972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01323058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.758056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75532972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.277205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16315 KachelY 12006 -0.01323058 0.75532972 -0.758056 43.277205
    Oben rechts KachelX + 1 16316 KachelY 12006 -0.01303884 0.75532972 -0.747071 43.277205
    Unten links KachelX 16315 KachelY + 1 12007 -0.01323058 0.75519011 -0.758056 43.269206
    Unten rechts KachelX + 1 16316 KachelY + 1 12007 -0.01303884 0.75519011 -0.747071 43.269206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75532972-0.75519011) × R
    0.000139609999999957 × 6371000     		dl = 889.455309999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75532972-0.75519011) × R
    0.000139609999999957 × 6371000     		dr = 889.455309999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01323058--0.01303884) × cos(0.75532972) × R
    0.000191740000000001 × 0.72804555021983 × 6371000     		do = 889.362636154391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01323058--0.01303884) × cos(0.75519011) × R
    0.000191740000000001 × 0.728141249794147 × 6371000     		du = 889.479540413565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75532972)-sin(0.75519011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72804555021983-0.728141249794147)×R²
    abs(-0.01303884--0.01323058)×9.56995743166544e-05×R²
    0.000191740000000001×9.56995743166544e-05×6371000²
    0.000191740000000001×9.56995743166544e-05×40589641000000     		ar = 791100.311084313m²