Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16312 / 12025
↖ ↑ ↗
← N 43.125043°
W  0.791016°		 ← 891.63 m → N 43.125043°
W  0.780029°		 →
↑
891.69 m
↓
↑
891.69 m
↓
N 43.117024°
W  0.791016°		 ← 891.75 m →
795 105 m²		 N 43.117024°
W  0.780029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497817993164062 y=0.366989135742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497817993164062 × 215)
    floor (0.497817993164062 × 32768)
    floor (16312.5)     		tx = 16312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366989135742188 × 215)
    floor (0.366989135742188 × 32768)
    floor (12025.5)     		ty = 12025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16312 / 12025 ti = "15/16312/12025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16312/12025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16312 ÷ 215
    16312 ÷ 32768     		x = 0.497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12025 ÷ 215
    12025 ÷ 32768     		y = 0.366973876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.00439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01380583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366973876953125 × 2 - 1) × π
    0.26605224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.835827781775299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01380583} λ = -0.01380583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.835827781775299))-π/2
    2×atan(2.30672272122499)-π/2
    2×1.16173516005665-π/2
    2.3234703201133-1.57079632675     		φ = 0.75267399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01380583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75267399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.125043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16312 KachelY 12025 -0.01380583 0.75267399 -0.791016 43.125043
    Oben rechts KachelX + 1 16313 KachelY 12025 -0.01361408 0.75267399 -0.780029 43.125043
    Unten links KachelX 16312 KachelY + 1 12026 -0.01380583 0.75253403 -0.791016 43.117024
    Unten rechts KachelX + 1 16313 KachelY + 1 12026 -0.01361408 0.75253403 -0.780029 43.117024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75267399-0.75253403) × R
    0.00013996000000005 × 6371000     		dl = 891.685160000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75267399-0.75253403) × R
    0.00013996000000005 × 6371000     		dr = 891.685160000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01380583--0.01361408) × cos(0.75267399) × R
    0.000191749999999999 × 0.729863559950463 × 6371000     		do = 891.62997198021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01380583--0.01361408) × cos(0.75253403) × R
    0.000191749999999999 × 0.729959228456787 × 6371000     		du = 891.746844382524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75267399)-sin(0.75253403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729863559950463-0.729959228456787)×R²
    abs(-0.01361408--0.01380583)×9.56685063243645e-05×R²
    0.000191749999999999×9.56685063243645e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.56685063243645e-05×40589641000000     		ar = 795105.322217162m²