Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16310 / 12014
↖ ↑ ↗
← N 43.213183°
W  0.812988°		 ← 890.34 m → N 43.213183°
W  0.802002°		 →
↑
890.41 m
↓
↑
890.41 m
↓
N 43.205176°
W  0.812988°		 ← 890.46 m →
792 824 m²		 N 43.205176°
W  0.802002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497756958007812 y=0.366653442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497756958007812 × 215)
    floor (0.497756958007812 × 32768)
    floor (16310.5)     		tx = 16310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366653442382812 × 215)
    floor (0.366653442382812 × 32768)
    floor (12014.5)     		ty = 12014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16310 / 12014 ti = "15/16310/12014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16310/12014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16310 ÷ 215
    16310 ÷ 32768     		x = 0.49774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12014 ÷ 215
    12014 ÷ 32768     		y = 0.36663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.0045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01418932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36663818359375 × 2 - 1) × π
    0.2667236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.837937005358582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01418932} λ = -0.01418932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.837937005358582))-π/2
    2×atan(2.31159324989998)-π/2
    2×1.16250432782158-π/2
    2.32500865564317-1.57079632675     		φ = 0.75421233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01418932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.812988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75421233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.213183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16310 KachelY 12014 -0.01418932 0.75421233 -0.812988 43.213183
    Oben rechts KachelX + 1 16311 KachelY 12014 -0.01399757 0.75421233 -0.802002 43.213183
    Unten links KachelX 16310 KachelY + 1 12015 -0.01418932 0.75407257 -0.812988 43.205176
    Unten rechts KachelX + 1 16311 KachelY + 1 12015 -0.01399757 0.75407257 -0.802002 43.205176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75421233-0.75407257) × R
    0.000139759999999933 × 6371000     		dl = 890.410959999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75421233-0.75407257) × R
    0.000139759999999933 × 6371000     		dr = 890.410959999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01418932--0.01399757) × cos(0.75421233) × R
    0.000191749999999999 × 0.728811098533943 × 6371000     		do = 890.344243804678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01418932--0.01399757) × cos(0.75407257) × R
    0.000191749999999999 × 0.728906787158781 × 6371000     		du = 890.461140784559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75421233)-sin(0.75407257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728811098533943-0.728906787158781)×R²
    abs(-0.01399757--0.01418932)×9.56886248382194e-05×R²
    0.000191749999999999×9.56886248382194e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.56886248382194e-05×40589641000000     		ar = 792824.317322769m²