Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16308 / 11411
↖ ↑ ↗
← N 47.850031°
W  0.834961°		 ← 819.81 m → N 47.850031°
W  0.823975°		 →
↑
819.82 m
↓
↑
819.82 m
↓
N 47.842658°
W  0.834961°		 ← 819.93 m →
672 144 m²		 N 47.842658°
W  0.823975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497695922851562 y=0.348251342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497695922851562 × 215)
    floor (0.497695922851562 × 32768)
    floor (16308.5)     		tx = 16308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348251342773438 × 215)
    floor (0.348251342773438 × 32768)
    floor (11411.5)     		ty = 11411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16308 / 11411 ti = "15/16308/11411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16308/11411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16308 ÷ 215
    16308 ÷ 32768     		x = 0.4976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11411 ÷ 215
    11411 ÷ 32768     		y = 0.348236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01457282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348236083984375 × 2 - 1) × π
    0.30352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.953560807242157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01457282} λ = -0.01457282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953560807242157))-π/2
    2×atan(2.59493328502768)-π/2
    2×1.20296845558175-π/2
    2.4059369111635-1.57079632675     		φ = 0.83514058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01457282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83514058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.850031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16308 KachelY 11411 -0.01457282 0.83514058 -0.834961 47.850031
    Oben rechts KachelX + 1 16309 KachelY 11411 -0.01438107 0.83514058 -0.823975 47.850031
    Unten links KachelX 16308 KachelY + 1 11412 -0.01457282 0.83501190 -0.834961 47.842658
    Unten rechts KachelX + 1 16309 KachelY + 1 11412 -0.01438107 0.83501190 -0.823975 47.842658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83514058-0.83501190) × R
    0.000128679999999992 × 6371000     		dl = 819.82027999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83514058-0.83501190) × R
    0.000128679999999992 × 6371000     		dr = 819.82027999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01457282--0.01438107) × cos(0.83514058) × R
    0.000191750000000001 × 0.671073464564413 × 6371000     		do = 819.809683945375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01457282--0.01438107) × cos(0.83501190) × R
    0.000191750000000001 × 0.67116886118383 × 6371000     		du = 819.926224199972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83514058)-sin(0.83501190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671073464564413-0.67116886118383)×R²
    abs(-0.01438107--0.01457282)×9.5396619417154e-05×R²
    0.000191750000000001×9.5396619417154e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.5396619417154e-05×40589641000000     		ar = 672144.376597865m²