Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16308 / 11404
↖ ↑ ↗
← N 47.901613°
W  0.834961°		 ← 818.99 m → N 47.901613°
W  0.823975°		 →
↑
818.99 m
↓
↑
818.99 m
↓
N 47.894248°
W  0.834961°		 ← 819.11 m →
670 797 m²		 N 47.894248°
W  0.823975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497695922851562 y=0.348037719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497695922851562 × 215)
    floor (0.497695922851562 × 32768)
    floor (16308.5)     		tx = 16308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348037719726562 × 215)
    floor (0.348037719726562 × 32768)
    floor (11404.5)     		ty = 11404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16308 / 11404 ti = "15/16308/11404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16308/11404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16308 ÷ 215
    16308 ÷ 32768     		x = 0.4976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11404 ÷ 215
    11404 ÷ 32768     		y = 0.3480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01457282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3480224609375 × 2 - 1) × π
    0.303955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.954903040431519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01457282} λ = -0.01457282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954903040431519))-π/2
    2×atan(2.59841862915604)-π/2
    2×1.20341860004615-π/2
    2.40683720009229-1.57079632675     		φ = 0.83604087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01457282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83604087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.901613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16308 KachelY 11404 -0.01457282 0.83604087 -0.834961 47.901613
    Oben rechts KachelX + 1 16309 KachelY 11404 -0.01438107 0.83604087 -0.823975 47.901613
    Unten links KachelX 16308 KachelY + 1 11405 -0.01457282 0.83591232 -0.834961 47.894248
    Unten rechts KachelX + 1 16309 KachelY + 1 11405 -0.01438107 0.83591232 -0.823975 47.894248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83604087-0.83591232) × R
    0.000128550000000005 × 6371000     		dl = 818.992050000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83604087-0.83591232) × R
    0.000128550000000005 × 6371000     		dr = 818.992050000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01457282--0.01438107) × cos(0.83604087) × R
    0.000191750000000001 × 0.670405725918612 × 6371000     		do = 818.993948206923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01457282--0.01438107) × cos(0.83591232) × R
    0.000191750000000001 × 0.670501103800183 × 6371000     		du = 819.110465570632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83604087)-sin(0.83591232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670405725918612-0.670501103800183)×R²
    abs(-0.01438107--0.01457282)×9.53778815712125e-05×R²
    0.000191750000000001×9.53778815712125e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.53778815712125e-05×40589641000000     		ar = 670797.246900789m²