Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16306 / 11570
↖ ↑ ↗
← N 46.664517°
W  0.856933°		 ← 838.33 m → N 46.664517°
W  0.845948°		 →
↑
838.42 m
↓
↑
838.42 m
↓
N 46.656977°
W  0.856933°		 ← 838.45 m →
702 924 m²		 N 46.656977°
W  0.845948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497634887695312 y=0.353103637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497634887695312 × 215)
    floor (0.497634887695312 × 32768)
    floor (16306.5)     		tx = 16306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353103637695312 × 215)
    floor (0.353103637695312 × 32768)
    floor (11570.5)     		ty = 11570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16306 / 11570 ti = "15/16306/11570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16306/11570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16306 ÷ 215
    16306 ÷ 32768     		x = 0.49761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11570 ÷ 215
    11570 ÷ 32768     		y = 0.35308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.0047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01495631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35308837890625 × 2 - 1) × π
    0.2938232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.923072939083801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01495631} λ = -0.01495631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.923072939083801))-π/2
    2×atan(2.51701314615071)-π/2
    2×1.19262289978357-π/2
    2.38524579956715-1.57079632675     		φ = 0.81444947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01495631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.856933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81444947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.664517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16306 KachelY 11570 -0.01495631 0.81444947 -0.856933 46.664517
    Oben rechts KachelX + 1 16307 KachelY 11570 -0.01476457 0.81444947 -0.845948 46.664517
    Unten links KachelX 16306 KachelY + 1 11571 -0.01495631 0.81431787 -0.856933 46.656977
    Unten rechts KachelX + 1 16307 KachelY + 1 11571 -0.01476457 0.81431787 -0.845948 46.656977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81444947-0.81431787) × R
    0.000131600000000009 × 6371000     		dl = 838.42360000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81444947-0.81431787) × R
    0.000131600000000009 × 6371000     		dr = 838.42360000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01495631--0.01476457) × cos(0.81444947) × R
    0.000191740000000001 × 0.686268924272678 × 6371000     		do = 838.32933175362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01495631--0.01476457) × cos(0.81431787) × R
    0.000191740000000001 × 0.68636463731308 × 6371000     		du = 838.446252462634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81444947)-sin(0.81431787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686268924272678-0.68636463731308)×R²
    abs(-0.01476457--0.01495631)×9.57130404019013e-05×R²
    0.000191740000000001×9.57130404019013e-05×6371000²
    0.000191740000000001×9.57130404019013e-05×40589641000000     		ar = 702924.111869776m²