Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16303 / 11443
↖ ↑ ↗
← N 47.613570°
W  0.889893°		 ← 823.54 m → N 47.613570°
W  0.878906°		 →
↑
823.58 m
↓
↑
823.58 m
↓
N 47.606163°
W  0.889893°		 ← 823.66 m →
678 299 m²		 N 47.606163°
W  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497543334960938 y=0.349227905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497543334960938 × 215)
    floor (0.497543334960938 × 32768)
    floor (16303.5)     		tx = 16303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349227905273438 × 215)
    floor (0.349227905273438 × 32768)
    floor (11443.5)     		ty = 11443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16303 / 11443 ti = "15/16303/11443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16303/11443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16303 ÷ 215
    16303 ÷ 32768     		x = 0.497528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11443 ÷ 215
    11443 ÷ 32768     		y = 0.349212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.00494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01553156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349212646484375 × 2 - 1) × π
    0.30157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.94742488409079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01553156} λ = -0.01553156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.94742488409079))-π/2
    2×atan(2.5790597230886)-π/2
    2×1.20090494380574-π/2
    2.40180988761147-1.57079632675     		φ = 0.83101356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01553156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83101356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.613570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16303 KachelY 11443 -0.01553156 0.83101356 -0.889893 47.613570
    Oben rechts KachelX + 1 16304 KachelY 11443 -0.01533981 0.83101356 -0.878906 47.613570
    Unten links KachelX 16303 KachelY + 1 11444 -0.01553156 0.83088429 -0.889893 47.606163
    Unten rechts KachelX + 1 16304 KachelY + 1 11444 -0.01533981 0.83088429 -0.878906 47.606163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83101356-0.83088429) × R
    0.00012927000000007 × 6371000     		dl = 823.579170000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83101356-0.83088429) × R
    0.00012927000000007 × 6371000     		dr = 823.579170000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01553156--0.01533981) × cos(0.83101356) × R
    0.000191749999999999 × 0.674127475827613 × 6371000     		do = 823.540583974435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01553156--0.01533981) × cos(0.83088429) × R
    0.000191749999999999 × 0.674222950958275 × 6371000     		du = 823.65722014145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83101356)-sin(0.83088429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674127475827613-0.674222950958275)×R²
    abs(-0.01533981--0.01553156)×9.54751306618817e-05×R²
    0.000191749999999999×9.54751306618817e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.54751306618817e-05×40589641000000     		ar = 678298.901115304m²