Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16302 / 11414
↖ ↑ ↗
← N 47.827908°
W  0.900879°		 ← 820.12 m → N 47.827908°
W  0.889893°		 →
↑
820.20 m
↓
↑
820.20 m
↓
N 47.820532°
W  0.900879°		 ← 820.23 m →
672 709 m²		 N 47.820532°
W  0.889893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497512817382812 y=0.348342895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497512817382812 × 215)
    floor (0.497512817382812 × 32768)
    floor (16302.5)     		tx = 16302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348342895507812 × 215)
    floor (0.348342895507812 × 32768)
    floor (11414.5)     		ty = 11414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16302 / 11414 ti = "15/16302/11414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16302/11414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16302 ÷ 215
    16302 ÷ 32768     		x = 0.49749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11414 ÷ 215
    11414 ÷ 32768     		y = 0.34832763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01572330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34832763671875 × 2 - 1) × π
    0.3033447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.952985564446716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01572330} λ = -0.01572330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952985564446716))-π/2
    2×atan(2.59344099760576)-π/2
    2×1.20277539933526-π/2
    2.40555079867053-1.57079632675     		φ = 0.83475447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01572330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83475447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.827908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16302 KachelY 11414 -0.01572330 0.83475447 -0.900879 47.827908
    Oben rechts KachelX + 1 16303 KachelY 11414 -0.01553156 0.83475447 -0.889893 47.827908
    Unten links KachelX 16302 KachelY + 1 11415 -0.01572330 0.83462573 -0.900879 47.820532
    Unten rechts KachelX + 1 16303 KachelY + 1 11415 -0.01553156 0.83462573 -0.889893 47.820532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83475447-0.83462573) × R
    0.000128740000000072 × 6371000     		dl = 820.202540000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83475447-0.83462573) × R
    0.000128740000000072 × 6371000     		dr = 820.202540000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01572330--0.01553156) × cos(0.83475447) × R
    0.000191739999999999 × 0.671359672959571 × 6371000     		do = 820.116555029808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01572330--0.01553156) × cos(0.83462573) × R
    0.000191739999999999 × 0.671455080690185 × 6371000     		du = 820.233102779853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83475447)-sin(0.83462573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671359672959571-0.671455080690185)×R²
    abs(-0.01553156--0.01572330)×9.54077306137835e-05×R²
    0.000191739999999999×9.54077306137835e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.54077306137835e-05×40589641000000     		ar = 672709.478841561m²