Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16301 / 11441
↖ ↑ ↗
← N 47.628380°
W  0.911865°		 ← 823.31 m → N 47.628380°
W  0.900879°		 →
↑
823.39 m
↓
↑
823.39 m
↓
N 47.620975°
W  0.911865°		 ← 823.42 m →
677 949 m²		 N 47.620975°
W  0.900879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497482299804688 y=0.349166870117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497482299804688 × 215)
    floor (0.497482299804688 × 32768)
    floor (16301.5)     		tx = 16301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349166870117188 × 215)
    floor (0.349166870117188 × 32768)
    floor (11441.5)     		ty = 11441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16301 / 11441 ti = "15/16301/11441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16301/11441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16301 ÷ 215
    16301 ÷ 32768     		x = 0.497467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11441 ÷ 215
    11441 ÷ 32768     		y = 0.349151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.00506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01591505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349151611328125 × 2 - 1) × π
    0.30169677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.94780837928775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01591505} λ = -0.01591505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.94780837928775))-π/2
    2×atan(2.58004896977863)-π/2
    2×1.20103418782335-π/2
    2.4020683756467-1.57079632675     		φ = 0.83127205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01591505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.911865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83127205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.628380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16301 KachelY 11441 -0.01591505 0.83127205 -0.911865 47.628380
    Oben rechts KachelX + 1 16302 KachelY 11441 -0.01572330 0.83127205 -0.900879 47.628380
    Unten links KachelX 16301 KachelY + 1 11442 -0.01591505 0.83114281 -0.911865 47.620975
    Unten rechts KachelX + 1 16302 KachelY + 1 11442 -0.01572330 0.83114281 -0.900879 47.620975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83127205-0.83114281) × R
    0.00012924000000003 × 6371000     		dl = 823.388040000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83127205-0.83114281) × R
    0.00012924000000003 × 6371000     		dr = 823.388040000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01591505--0.01572330) × cos(0.83127205) × R
    0.000191750000000001 × 0.673936528711856 × 6371000     		do = 823.307315483159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01591505--0.01572330) × cos(0.83114281) × R
    0.000191750000000001 × 0.67403200420583 × 6371000     		du = 823.423952094011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83127205)-sin(0.83114281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673936528711856-0.67403200420583)×R²
    abs(-0.01572330--0.01591505)×9.54754939741509e-05×R²
    0.000191750000000001×9.54754939741509e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.54754939741509e-05×40589641000000     		ar = 677949.416352615m²