Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16299 / 12037
↖ ↑ ↗
← N 43.028745°
W  0.933838°		 ← 893.03 m → N 43.028745°
W  0.922852°		 →
↑
893.09 m
↓
↑
893.09 m
↓
N 43.020714°
W  0.933838°		 ← 893.15 m →
797 608 m²		 N 43.020714°
W  0.922852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497421264648438 y=0.367355346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497421264648438 × 215)
    floor (0.497421264648438 × 32768)
    floor (16299.5)     		tx = 16299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367355346679688 × 215)
    floor (0.367355346679688 × 32768)
    floor (12037.5)     		ty = 12037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16299 / 12037 ti = "15/16299/12037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16299/12037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16299 ÷ 215
    16299 ÷ 32768     		x = 0.497406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12037 ÷ 215
    12037 ÷ 32768     		y = 0.367340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.00518798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01629855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367340087890625 × 2 - 1) × π
    0.26531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.833526810593536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01629855} λ = -0.01629855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833526810593536))-π/2
    2×atan(2.3014211204735)-π/2
    2×1.1608948022077-π/2
    2.32178960441539-1.57079632675     		φ = 0.75099328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01629855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.933838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75099328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.028745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16299 KachelY 12037 -0.01629855 0.75099328 -0.933838 43.028745
    Oben rechts KachelX + 1 16300 KachelY 12037 -0.01610680 0.75099328 -0.922852 43.028745
    Unten links KachelX 16299 KachelY + 1 12038 -0.01629855 0.75085310 -0.933838 43.020714
    Unten rechts KachelX + 1 16300 KachelY + 1 12038 -0.01610680 0.75085310 -0.922852 43.020714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75099328-0.75085310) × R
    0.000140179999999934 × 6371000     		dl = 893.086779999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75099328-0.75085310) × R
    0.000140179999999934 × 6371000     		dr = 893.086779999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01629855--0.01610680) × cos(0.75099328) × R
    0.000191749999999997 × 0.73101144989362 × 6371000     		do = 893.032279389443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01629855--0.01610680) × cos(0.75085310) × R
    0.000191749999999997 × 0.731107096664076 × 6371000     		du = 893.149125238368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75099328)-sin(0.75085310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73101144989362-0.731107096664076)×R²
    abs(-0.01610680--0.01629855)×9.56467704561481e-05×R²
    0.000191749999999997×9.56467704561481e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.56467704561481e-05×40589641000000     		ar = 797607.500882865m²