Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16298 / 11410
↖ ↑ ↗
← N 47.857403°
W  0.944824°		 ← 819.65 m → N 47.857403°
W  0.933838°		 →
↑
819.76 m
↓
↑
819.76 m
↓
N 47.850031°
W  0.944824°		 ← 819.77 m →
671 962 m²		 N 47.850031°
W  0.933838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497390747070312 y=0.348220825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497390747070312 × 215)
    floor (0.497390747070312 × 32768)
    floor (16298.5)     		tx = 16298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348220825195312 × 215)
    floor (0.348220825195312 × 32768)
    floor (11410.5)     		ty = 11410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16298 / 11410 ti = "15/16298/11410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16298/11410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16298 ÷ 215
    16298 ÷ 32768     		x = 0.49737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11410 ÷ 215
    11410 ÷ 32768     		y = 0.34820556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.0052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01649029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34820556640625 × 2 - 1) × π
    0.3035888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.953752554840637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01649029} λ = -0.01649029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953752554840637))-π/2
    2×atan(2.59543090496048)-π/2
    2×1.20303278937093-π/2
    2.40606557874186-1.57079632675     		φ = 0.83526925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01649029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.944824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83526925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.857403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16298 KachelY 11410 -0.01649029 0.83526925 -0.944824 47.857403
    Oben rechts KachelX + 1 16299 KachelY 11410 -0.01629855 0.83526925 -0.933838 47.857403
    Unten links KachelX 16298 KachelY + 1 11411 -0.01649029 0.83514058 -0.944824 47.850031
    Unten rechts KachelX + 1 16299 KachelY + 1 11411 -0.01629855 0.83514058 -0.933838 47.850031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83526925-0.83514058) × R
    0.000128669999999942 × 6371000     		dl = 819.75656999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83526925-0.83514058) × R
    0.000128669999999942 × 6371000     		dr = 819.75656999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01649029--0.01629855) × cos(0.83526925) × R
    0.000191740000000003 × 0.67097806424777 × 6371000     		do = 819.650391161636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01649029--0.01629855) × cos(0.83514058) × R
    0.000191740000000003 × 0.671073464564413 × 6371000     		du = 819.766929854955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83526925)-sin(0.83514058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67097806424777-0.671073464564413)×R²
    abs(-0.01629855--0.01649029)×9.54003166434569e-05×R²
    0.000191740000000003×9.54003166434569e-05×6371000²
    0.000191740000000003×9.54003166434569e-05×40589641000000     		ar = 671961.560865021m²