Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16296 / 12008
↖ ↑ ↗
← N 43.261206°
W  0.966797°		 ← 889.64 m → N 43.261206°
W  0.955810°		 →
↑
889.71 m
↓
↑
889.71 m
↓
N 43.253205°
W  0.966797°		 ← 889.76 m →
791 576 m²		 N 43.253205°
W  0.955810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497329711914062 y=0.366470336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497329711914062 × 215)
    floor (0.497329711914062 × 32768)
    floor (16296.5)     		tx = 16296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366470336914062 × 215)
    floor (0.366470336914062 × 32768)
    floor (12008.5)     		ty = 12008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16296 / 12008 ti = "15/16296/12008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16296/12008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16296 ÷ 215
    16296 ÷ 32768     		x = 0.497314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12008 ÷ 215
    12008 ÷ 32768     		y = 0.366455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497314453125 × 2 - 1) × π
    -0.00537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01687379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366455078125 × 2 - 1) × π
    0.26708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.839087490949463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01687379} λ = -0.01687379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839087490949463))-π/2
    2×atan(2.31425423504499)-π/2
    2×1.16292340601956-π/2
    2.32584681203912-1.57079632675     		φ = 0.75505049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01687379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75505049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.261206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16296 KachelY 12008 -0.01687379 0.75505049 -0.966797 43.261206
    Oben rechts KachelX + 1 16297 KachelY 12008 -0.01668204 0.75505049 -0.955810 43.261206
    Unten links KachelX 16296 KachelY + 1 12009 -0.01687379 0.75491084 -0.966797 43.253205
    Unten rechts KachelX + 1 16297 KachelY + 1 12009 -0.01668204 0.75491084 -0.955810 43.253205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75505049-0.75491084) × R
    0.000139650000000047 × 6371000     		dl = 889.710150000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75505049-0.75491084) × R
    0.000139650000000047 × 6371000     		dr = 889.710150000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01687379--0.01668204) × cos(0.75505049) × R
    0.000191750000000001 × 0.728236942029552 × 6371000     		do = 889.64283168328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01687379--0.01668204) × cos(0.75491084) × R
    0.000191750000000001 × 0.728332640625605 × 6371000     		du = 889.759740844388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75505049)-sin(0.75491084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728236942029552-0.728332640625605)×R²
    abs(-0.01668204--0.01687379)×9.56985960525181e-05×R²
    0.000191750000000001×9.56985960525181e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.56985960525181e-05×40589641000000     		ar = 791576.266143187m²