Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16291 / 11429
↖ ↑ ↗
← N 47.717154°
W  1.021729°		 ← 821.91 m → N 47.717154°
W  1.010742°		 →
↑
821.99 m
↓
↑
821.99 m
↓
N 47.709761°
W  1.021729°		 ← 822.02 m →
675 645 m²		 N 47.709761°
W  1.010742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497177124023438 y=0.348800659179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497177124023438 × 215)
    floor (0.497177124023438 × 32768)
    floor (16291.5)     		tx = 16291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348800659179688 × 215)
    floor (0.348800659179688 × 32768)
    floor (11429.5)     		ty = 11429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16291 / 11429 ti = "15/16291/11429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16291/11429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16291 ÷ 215
    16291 ÷ 32768     		x = 0.497161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11429 ÷ 215
    11429 ÷ 32768     		y = 0.348785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497161865234375 × 2 - 1) × π
    -0.00567626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01783253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348785400390625 × 2 - 1) × π
    0.30242919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.950109350469513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01783253} λ = -0.01783253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.950109350469513))-π/2
    2×atan(2.58599242334102)-π/2
    2×1.2018088831279-π/2
    2.4036177662558-1.57079632675     		φ = 0.83282144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01783253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.021729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83282144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.717154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16291 KachelY 11429 -0.01783253 0.83282144 -1.021729 47.717154
    Oben rechts KachelX + 1 16292 KachelY 11429 -0.01764078 0.83282144 -1.010742 47.717154
    Unten links KachelX 16291 KachelY + 1 11430 -0.01783253 0.83269242 -1.021729 47.709761
    Unten rechts KachelX + 1 16292 KachelY + 1 11430 -0.01764078 0.83269242 -1.010742 47.709761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83282144-0.83269242) × R
    0.000129020000000035 × 6371000     		dl = 821.986420000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83282144-0.83269242) × R
    0.000129020000000035 × 6371000     		dr = 821.986420000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01783253--0.01764078) × cos(0.83282144) × R
    0.000191750000000001 × 0.672791047565451 × 6371000     		do = 821.907950754576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01783253--0.01764078) × cos(0.83269242) × R
    0.000191750000000001 × 0.672886495161467 × 6371000     		du = 822.024553284187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83282144)-sin(0.83269242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672791047565451-0.672886495161467)×R²
    abs(-0.01764078--0.01783253)×9.54475960152079e-05×R²
    0.000191750000000001×9.54475960152079e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.54475960152079e-05×40589641000000     		ar = 675645.097795108m²