Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16290 / 11430
↖ ↑ ↗
← N 47.709761°
W  1.032715°		 ← 821.98 m → N 47.709761°
W  1.021729°		 →
↑
822.05 m
↓
↑
822.05 m
↓
N 47.702368°
W  1.032715°		 ← 822.10 m →
675 758 m²		 N 47.702368°
W  1.021729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497146606445312 y=0.348831176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497146606445312 × 215)
    floor (0.497146606445312 × 32768)
    floor (16290.5)     		tx = 16290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348831176757812 × 215)
    floor (0.348831176757812 × 32768)
    floor (11430.5)     		ty = 11430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16290 / 11430 ti = "15/16290/11430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16290/11430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16290 ÷ 215
    16290 ÷ 32768     		x = 0.49713134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11430 ÷ 215
    11430 ÷ 32768     		y = 0.34881591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49713134765625 × 2 - 1) × π
    -0.0057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01802427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34881591796875 × 2 - 1) × π
    0.3023681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.949917602871033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01802427} λ = -0.01802427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.949917602871033))-π/2
    2×atan(2.5854966130409)-π/2
    2×1.20174437551876-π/2
    2.40348875103752-1.57079632675     		φ = 0.83269242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01802427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.032715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83269242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.709761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16290 KachelY 11430 -0.01802427 0.83269242 -1.032715 47.709761
    Oben rechts KachelX + 1 16291 KachelY 11430 -0.01783253 0.83269242 -1.021729 47.709761
    Unten links KachelX 16290 KachelY + 1 11431 -0.01802427 0.83256339 -1.032715 47.702368
    Unten rechts KachelX + 1 16291 KachelY + 1 11431 -0.01783253 0.83256339 -1.021729 47.702368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83269242-0.83256339) × R
    0.000129029999999974 × 6371000     		dl = 822.050129999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83269242-0.83256339) × R
    0.000129029999999974 × 6371000     		dr = 822.050129999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01802427--0.01783253) × cos(0.83269242) × R
    0.000191739999999999 × 0.672886495161467 × 6371000     		do = 821.981683685573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01802427--0.01783253) × cos(0.83256339) × R
    0.000191739999999999 × 0.672981938953094 × 6371000     		du = 822.09827548687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83269242)-sin(0.83256339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672886495161467-0.672981938953094)×R²
    abs(-0.01783253--0.01802427)×9.54437916278472e-05×R²
    0.000191739999999999×9.54437916278472e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.54437916278472e-05×40589641000000     		ar = 675758.073021691m²