Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16289 / 11553
↖ ↑ ↗
← N 46.792538°
W  1.043701°		 ← 836.39 m → N 46.792538°
W  1.032715°		 →
↑
836.45 m
↓
↑
836.45 m
↓
N 46.785016°
W  1.043701°		 ← 836.50 m →
699 642 m²		 N 46.785016°
W  1.032715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497116088867188 y=0.352584838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497116088867188 × 215)
    floor (0.497116088867188 × 32768)
    floor (16289.5)     		tx = 16289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352584838867188 × 215)
    floor (0.352584838867188 × 32768)
    floor (11553.5)     		ty = 11553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16289 / 11553 ti = "15/16289/11553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16289/11553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16289 ÷ 215
    16289 ÷ 32768     		x = 0.497100830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11553 ÷ 215
    11553 ÷ 32768     		y = 0.352569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497100830078125 × 2 - 1) × π
    -0.00579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01821602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352569580078125 × 2 - 1) × π
    0.29486083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.926332648257965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01821602} λ = -0.01821602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926332648257965))-π/2
    2×atan(2.52523126405493)-π/2
    2×1.19374009248-π/2
    2.38748018496-1.57079632675     		φ = 0.81668386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01821602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.043701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81668386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.792538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16289 KachelY 11553 -0.01821602 0.81668386 -1.043701 46.792538
    Oben rechts KachelX + 1 16290 KachelY 11553 -0.01802427 0.81668386 -1.032715 46.792538
    Unten links KachelX 16289 KachelY + 1 11554 -0.01821602 0.81655257 -1.043701 46.785016
    Unten rechts KachelX + 1 16290 KachelY + 1 11554 -0.01802427 0.81655257 -1.032715 46.785016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81668386-0.81655257) × R
    0.000131290000000006 × 6371000     		dl = 836.448590000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81668386-0.81655257) × R
    0.000131290000000006 × 6371000     		dr = 836.448590000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01821602--0.01802427) × cos(0.81668386) × R
    0.000191750000000001 × 0.684642033659278 × 6371000     		do = 836.385580517999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01821602--0.01802427) × cos(0.81655257) × R
    0.000191750000000001 × 0.684737722344366 × 6371000     		du = 836.502477571484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81668386)-sin(0.81655257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684642033659278-0.684737722344366)×R²
    abs(-0.01802427--0.01821602)×9.56886850886907e-05×R²
    0.000191750000000001×9.56886850886907e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.56886850886907e-05×40589641000000     		ar = 699642.42971367m²