Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16289 / 11485
↖ ↑ ↗
← N 47.301584°
W  1.043701°		 ← 828.44 m → N 47.301584°
W  1.032715°		 →
↑
828.48 m
↓
↑
828.48 m
↓
N 47.294134°
W  1.043701°		 ← 828.56 m →
686 400 m²		 N 47.294134°
W  1.032715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497116088867188 y=0.350509643554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497116088867188 × 215)
    floor (0.497116088867188 × 32768)
    floor (16289.5)     		tx = 16289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350509643554688 × 215)
    floor (0.350509643554688 × 32768)
    floor (11485.5)     		ty = 11485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16289 / 11485 ti = "15/16289/11485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16289/11485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16289 ÷ 215
    16289 ÷ 32768     		x = 0.497100830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11485 ÷ 215
    11485 ÷ 32768     		y = 0.350494384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497100830078125 × 2 - 1) × π
    -0.00579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01821602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350494384765625 × 2 - 1) × π
    0.29901123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.93937148495462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01821602} λ = -0.01821602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93937148495462))-π/2
    2×atan(2.55837293702226)-π/2
    2×1.19818235895488-π/2
    2.39636471790976-1.57079632675     		φ = 0.82556839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01821602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.043701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82556839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.301584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16289 KachelY 11485 -0.01821602 0.82556839 -1.043701 47.301584
    Oben rechts KachelX + 1 16290 KachelY 11485 -0.01802427 0.82556839 -1.032715 47.301584
    Unten links KachelX 16289 KachelY + 1 11486 -0.01821602 0.82543835 -1.043701 47.294134
    Unten rechts KachelX + 1 16290 KachelY + 1 11486 -0.01802427 0.82543835 -1.032715 47.294134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82556839-0.82543835) × R
    0.000130040000000053 × 6371000     		dl = 828.48484000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82556839-0.82543835) × R
    0.000130040000000053 × 6371000     		dr = 828.48484000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01821602--0.01802427) × cos(0.82556839) × R
    0.000191750000000001 × 0.678139346422626 × 6371000     		do = 828.44164255923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01821602--0.01802427) × cos(0.82543835) × R
    0.000191750000000001 × 0.678234911421199 × 6371000     		du = 828.558388512414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82556839)-sin(0.82543835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678139346422626-0.678234911421199)×R²
    abs(-0.01802427--0.01821602)×9.55649985737717e-05×R²
    0.000191750000000001×9.55649985737717e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.55649985737717e-05×40589641000000     		ar = 686399.703778859m²