Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16287 / 11489
↖ ↑ ↗
← N 47.271775°
W  1.065674°		 ← 828.91 m → N 47.271775°
W  1.054688°		 →
↑
828.99 m
↓
↑
828.99 m
↓
N 47.264320°
W  1.065674°		 ← 829.03 m →
687 209 m²		 N 47.264320°
W  1.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497055053710938 y=0.350631713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497055053710938 × 215)
    floor (0.497055053710938 × 32768)
    floor (16287.5)     		tx = 16287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350631713867188 × 215)
    floor (0.350631713867188 × 32768)
    floor (11489.5)     		ty = 11489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16287 / 11489 ti = "15/16287/11489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16287/11489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16287 ÷ 215
    16287 ÷ 32768     		x = 0.497039794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11489 ÷ 215
    11489 ÷ 32768     		y = 0.350616455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497039794921875 × 2 - 1) × π
    -0.00592041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01859952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350616455078125 × 2 - 1) × π
    0.29876708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.938604494560699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01859952} λ = -0.01859952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.938604494560699))-π/2
    2×atan(2.55641144187562)-π/2
    2×1.19792222247384-π/2
    2.39584444494768-1.57079632675     		φ = 0.82504812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01859952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.065674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82504812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.271775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16287 KachelY 11489 -0.01859952 0.82504812 -1.065674 47.271775
    Oben rechts KachelX + 1 16288 KachelY 11489 -0.01840777 0.82504812 -1.054688 47.271775
    Unten links KachelX 16287 KachelY + 1 11490 -0.01859952 0.82491800 -1.065674 47.264320
    Unten rechts KachelX + 1 16288 KachelY + 1 11490 -0.01840777 0.82491800 -1.054688 47.264320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82504812-0.82491800) × R
    0.000130120000000011 × 6371000     		dl = 828.994520000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82504812-0.82491800) × R
    0.000130120000000011 × 6371000     		dr = 828.994520000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01859952--0.01840777) × cos(0.82504812) × R
    0.000191750000000001 × 0.678521618398961 × 6371000     		do = 828.908641009697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01859952--0.01840777) × cos(0.82491800) × R
    0.000191750000000001 × 0.678617196260608 × 6371000     		du = 829.025402676916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82504812)-sin(0.82491800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678521618398961-0.678617196260608)×R²
    abs(-0.01840777--0.01859952)×9.55778616472669e-05×R²
    0.000191750000000001×9.55778616472669e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.55778616472669e-05×40589641000000     		ar = 687209.119338324m²