Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16286 / 11494
↖ ↑ ↗
← N 47.234489°
W  1.076660°		 ← 829.45 m → N 47.234489°
W  1.065674°		 →
↑
829.50 m
↓
↑
829.50 m
↓
N 47.227029°
W  1.076660°		 ← 829.57 m →
688 080 m²		 N 47.227029°
W  1.065674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497024536132812 y=0.350784301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497024536132812 × 215)
    floor (0.497024536132812 × 32768)
    floor (16286.5)     		tx = 16286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350784301757812 × 215)
    floor (0.350784301757812 × 32768)
    floor (11494.5)     		ty = 11494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16286 / 11494 ti = "15/16286/11494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16286/11494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16286 ÷ 215
    16286 ÷ 32768     		x = 0.49700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11494 ÷ 215
    11494 ÷ 32768     		y = 0.35076904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01879126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35076904296875 × 2 - 1) × π
    0.2984619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.937645756568298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01879126} λ = -0.01879126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937645756568298))-π/2
    2×atan(2.55396168762597)-π/2
    2×1.1975968457059-π/2
    2.39519369141181-1.57079632675     		φ = 0.82439736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01879126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.076660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82439736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.234489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16286 KachelY 11494 -0.01879126 0.82439736 -1.076660 47.234489
    Oben rechts KachelX + 1 16287 KachelY 11494 -0.01859952 0.82439736 -1.065674 47.234489
    Unten links KachelX 16286 KachelY + 1 11495 -0.01879126 0.82426716 -1.076660 47.227029
    Unten rechts KachelX + 1 16287 KachelY + 1 11495 -0.01859952 0.82426716 -1.065674 47.227029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82439736-0.82426716) × R
    0.000130199999999969 × 6371000     		dl = 829.504199999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82439736-0.82426716) × R
    0.000130199999999969 × 6371000     		dr = 829.504199999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01879126--0.01859952) × cos(0.82439736) × R
    0.000191739999999999 × 0.67899951025509 × 6371000     		do = 829.449193399594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01879126--0.01859952) × cos(0.82426716) × R
    0.000191739999999999 × 0.679095089361382 × 6371000     		du = 829.565950497975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82439736)-sin(0.82426716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67899951025509-0.679095089361382)×R²
    abs(-0.01859952--0.01879126)×9.55791062923206e-05×R²
    0.000191739999999999×9.55791062923206e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.55791062923206e-05×40589641000000     		ar = 688080.015835188m²