Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16281 / 11981
↖ ↑ ↗
← N 43.476840°
W  1.131592°		 ← 886.44 m → N 43.476840°
W  1.120606°		 →
↑
886.52 m
↓
↑
886.52 m
↓
N 43.468868°
W  1.131592°		 ← 886.56 m →
785 902 m²		 N 43.468868°
W  1.120606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496871948242188 y=0.365646362304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496871948242188 × 215)
    floor (0.496871948242188 × 32768)
    floor (16281.5)     		tx = 16281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365646362304688 × 215)
    floor (0.365646362304688 × 32768)
    floor (11981.5)     		ty = 11981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16281 / 11981 ti = "15/16281/11981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16281/11981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16281 ÷ 215
    16281 ÷ 32768     		x = 0.496856689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11981 ÷ 215
    11981 ÷ 32768     		y = 0.365631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496856689453125 × 2 - 1) × π
    -0.00628662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01975000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365631103515625 × 2 - 1) × π
    0.26873779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.844264676108429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01975000} λ = -0.01975000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.844264676108429))-π/2
    2×atan(2.32626662608013)-π/2
    2×1.16480517004135-π/2
    2.32961034008271-1.57079632675     		φ = 0.75881401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01975000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.131592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75881401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.476840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16281 KachelY 11981 -0.01975000 0.75881401 -1.131592 43.476840
    Oben rechts KachelX + 1 16282 KachelY 11981 -0.01955826 0.75881401 -1.120606 43.476840
    Unten links KachelX 16281 KachelY + 1 11982 -0.01975000 0.75867486 -1.131592 43.468868
    Unten rechts KachelX + 1 16282 KachelY + 1 11982 -0.01955826 0.75867486 -1.120606 43.468868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75881401-0.75867486) × R
    0.000139150000000088 × 6371000     		dl = 886.52465000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75881401-0.75867486) × R
    0.000139150000000088 × 6371000     		dr = 886.52465000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01975000--0.01955826) × cos(0.75881401) × R
    0.000191739999999999 × 0.725652554726991 × 6371000     		do = 886.439411393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01975000--0.01955826) × cos(0.75867486) × R
    0.000191739999999999 × 0.725748291433017 × 6371000     		du = 886.556361011362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75881401)-sin(0.75867486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725652554726991-0.725748291433017)×R²
    abs(-0.01955826--0.01975000)×9.57367060269165e-05×R²
    0.000191739999999999×9.57367060269165e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.57367060269165e-05×40589641000000     		ar = 785902.229559587m²