Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16281 / 11385
↖ ↑ ↗
← N 48.041365°
W  1.131592°		 ← 816.74 m → N 48.041365°
W  1.120606°		 →
↑
816.83 m
↓
↑
816.83 m
↓
N 48.034019°
W  1.131592°		 ← 816.85 m →
667 180 m²		 N 48.034019°
W  1.120606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496871948242188 y=0.347457885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496871948242188 × 215)
    floor (0.496871948242188 × 32768)
    floor (16281.5)     		tx = 16281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347457885742188 × 215)
    floor (0.347457885742188 × 32768)
    floor (11385.5)     		ty = 11385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16281 / 11385 ti = "15/16281/11385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16281/11385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16281 ÷ 215
    16281 ÷ 32768     		x = 0.496856689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11385 ÷ 215
    11385 ÷ 32768     		y = 0.347442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496856689453125 × 2 - 1) × π
    -0.00628662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01975000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347442626953125 × 2 - 1) × π
    0.30511474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.958546244802643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01975000} λ = -0.01975000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958546244802643))-π/2
    2×atan(2.60790246454921)-π/2
    2×1.20463816223917-π/2
    2.40927632447835-1.57079632675     		φ = 0.83848000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01975000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.131592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83848000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.041365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16281 KachelY 11385 -0.01975000 0.83848000 -1.131592 48.041365
    Oben rechts KachelX + 1 16282 KachelY 11385 -0.01955826 0.83848000 -1.120606 48.041365
    Unten links KachelX 16281 KachelY + 1 11386 -0.01975000 0.83835179 -1.131592 48.034019
    Unten rechts KachelX + 1 16282 KachelY + 1 11386 -0.01955826 0.83835179 -1.120606 48.034019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83848000-0.83835179) × R
    0.000128209999999962 × 6371000     		dl = 816.825909999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83848000-0.83835179) × R
    0.000128209999999962 × 6371000     		dr = 816.825909999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01975000--0.01955826) × cos(0.83848000) × R
    0.000191739999999999 × 0.668593911894915 × 6371000     		do = 816.737968963741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01975000--0.01955826) × cos(0.83835179) × R
    0.000191739999999999 × 0.668689246909098 × 6371000     		du = 816.854427885172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83848000)-sin(0.83835179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668593911894915-0.668689246909098)×R²
    abs(-0.01955826--0.01975000)×9.53350141831288e-05×R²
    0.000191739999999999×9.53350141831288e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.53350141831288e-05×40589641000000     		ar = 667180.298975592m²