Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16280 / 11982
↖ ↑ ↗
← N 43.468868°
W  1.142578°		 ← 886.60 m → N 43.468868°
W  1.131592°		 →
↑
886.65 m
↓
↑
886.65 m
↓
N 43.460894°
W  1.142578°		 ← 886.72 m →
786 160 m²		 N 43.460894°
W  1.131592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496841430664062 y=0.365676879882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496841430664062 × 215)
    floor (0.496841430664062 × 32768)
    floor (16280.5)     		tx = 16280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365676879882812 × 215)
    floor (0.365676879882812 × 32768)
    floor (11982.5)     		ty = 11982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16280 / 11982 ti = "15/16280/11982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16280/11982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16280 ÷ 215
    16280 ÷ 32768     		x = 0.496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11982 ÷ 215
    11982 ÷ 32768     		y = 0.36566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.00634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01994175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36566162109375 × 2 - 1) × π
    0.2686767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.844072928509949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01994175} λ = -0.01994175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.844072928509949))-π/2
    2×atan(2.32582061280351)-π/2
    2×1.16473559438485-π/2
    2.32947118876969-1.57079632675     		φ = 0.75867486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01994175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75867486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.468868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16280 KachelY 11982 -0.01994175 0.75867486 -1.142578 43.468868
    Oben rechts KachelX + 1 16281 KachelY 11982 -0.01975000 0.75867486 -1.131592 43.468868
    Unten links KachelX 16280 KachelY + 1 11983 -0.01994175 0.75853569 -1.142578 43.460894
    Unten rechts KachelX + 1 16281 KachelY + 1 11983 -0.01975000 0.75853569 -1.131592 43.460894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75867486-0.75853569) × R
    0.000139169999999966 × 6371000     		dl = 886.652069999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75867486-0.75853569) × R
    0.000139169999999966 × 6371000     		dr = 886.652069999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01994175--0.01975000) × cos(0.75867486) × R
    0.000191750000000001 × 0.725748291433017 × 6371000     		do = 886.602598435017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01994175--0.01975000) × cos(0.75853569) × R
    0.000191750000000001 × 0.725844027843768 × 6371000     		du = 886.719553792044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75867486)-sin(0.75853569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725748291433017-0.725844027843768)×R²
    abs(-0.01975000--0.01994175)×9.57364107506686e-05×R²
    0.000191750000000001×9.57364107506686e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.57364107506686e-05×40589641000000     		ar = 786159.879793812m²