Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16280 / 11928
↖ ↑ ↗
← N 43.897893°
W  1.142578°		 ← 880.28 m → N 43.897893°
W  1.131592°		 →
↑
880.34 m
↓
↑
880.34 m
↓
N 43.889975°
W  1.142578°		 ← 880.40 m →
775 006 m²		 N 43.889975°
W  1.131592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496841430664062 y=0.364028930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496841430664062 × 215)
    floor (0.496841430664062 × 32768)
    floor (16280.5)     		tx = 16280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364028930664062 × 215)
    floor (0.364028930664062 × 32768)
    floor (11928.5)     		ty = 11928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16280 / 11928 ti = "15/16280/11928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16280/11928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16280 ÷ 215
    16280 ÷ 32768     		x = 0.496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11928 ÷ 215
    11928 ÷ 32768     		y = 0.364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.00634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01994175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364013671875 × 2 - 1) × π
    0.27197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.854427298827881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01994175} λ = -0.01994175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.854427298827881))-π/2
    2×atan(2.35002813124714)-π/2
    2×1.16847954184546-π/2
    2.33695908369092-1.57079632675     		φ = 0.76616276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01994175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76616276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.897893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16280 KachelY 11928 -0.01994175 0.76616276 -1.142578 43.897893
    Oben rechts KachelX + 1 16281 KachelY 11928 -0.01975000 0.76616276 -1.131592 43.897893
    Unten links KachelX 16280 KachelY + 1 11929 -0.01994175 0.76602458 -1.142578 43.889975
    Unten rechts KachelX + 1 16281 KachelY + 1 11929 -0.01975000 0.76602458 -1.131592 43.889975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76616276-0.76602458) × R
    0.000138180000000099 × 6371000     		dl = 880.344780000629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76616276-0.76602458) × R
    0.000138180000000099 × 6371000     		dr = 880.344780000629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01994175--0.01975000) × cos(0.76616276) × R
    0.000191750000000001 × 0.720576615639288 × 6371000     		do = 880.284676297123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01994175--0.01975000) × cos(0.76602458) × R
    0.000191750000000001 × 0.720672419362118 × 6371000     		du = 880.401713885228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76616276)-sin(0.76602458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720576615639288-0.720672419362118)×R²
    abs(-0.01975000--0.01994175)×9.58037228299125e-05×R²
    0.000191750000000001×9.58037228299125e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.58037228299125e-05×40589641000000     		ar = 775005.537640657m²