Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16277 / 11923
↖ ↑ ↗
← N 43.937462°
W  1.175537°		 ← 879.65 m → N 43.937462°
W  1.164551°		 →
↑
879.71 m
↓
↑
879.71 m
↓
N 43.929550°
W  1.175537°		 ← 879.77 m →
773 890 m²		 N 43.929550°
W  1.164551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496749877929688 y=0.363876342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496749877929688 × 215)
    floor (0.496749877929688 × 32768)
    floor (16277.5)     		tx = 16277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363876342773438 × 215)
    floor (0.363876342773438 × 32768)
    floor (11923.5)     		ty = 11923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16277 / 11923 ti = "15/16277/11923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16277/11923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16277 ÷ 215
    16277 ÷ 32768     		x = 0.496734619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11923 ÷ 215
    11923 ÷ 32768     		y = 0.363861083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.00653076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02051699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363861083984375 × 2 - 1) × π
    0.27227783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.855386036820282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02051699} λ = -0.02051699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.855386036820282))-π/2
    2×atan(2.35228227289273)-π/2
    2×1.16882484912109-π/2
    2.33764969824219-1.57079632675     		φ = 0.76685337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02051699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.175537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76685337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.937462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16277 KachelY 11923 -0.02051699 0.76685337 -1.175537 43.937462
    Oben rechts KachelX + 1 16278 KachelY 11923 -0.02032525 0.76685337 -1.164551 43.937462
    Unten links KachelX 16277 KachelY + 1 11924 -0.02051699 0.76671529 -1.175537 43.929550
    Unten rechts KachelX + 1 16278 KachelY + 1 11924 -0.02032525 0.76671529 -1.164551 43.929550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76685337-0.76671529) × R
    0.000138079999999929 × 6371000     		dl = 879.70767999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76685337-0.76671529) × R
    0.000138079999999929 × 6371000     		dr = 879.70767999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02051699--0.02032525) × cos(0.76685337) × R
    0.000191739999999999 × 0.720097591907635 × 6371000     		do = 879.653604687265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02051699--0.02032525) × cos(0.76671529) × R
    0.000191739999999999 × 0.72019339499839 × 6371000     		du = 879.770635399588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76685337)-sin(0.76671529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720097591907635-0.72019339499839)×R²
    abs(-0.02032525--0.02051699)×9.58030907551866e-05×R²
    0.000191739999999999×9.58030907551866e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.58030907551866e-05×40589641000000     		ar = 773889.509419795m²