Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16275 / 11915
↖ ↑ ↗
← N 44.000718°
W  1.197510°		 ← 878.76 m → N 44.000718°
W  1.186523°		 →
↑
878.82 m
↓
↑
878.82 m
↓
N 43.992814°
W  1.197510°		 ← 878.88 m →
772 322 m²		 N 43.992814°
W  1.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496688842773438 y=0.363632202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496688842773438 × 215)
    floor (0.496688842773438 × 32768)
    floor (16275.5)     		tx = 16275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363632202148438 × 215)
    floor (0.363632202148438 × 32768)
    floor (11915.5)     		ty = 11915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16275 / 11915 ti = "15/16275/11915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16275/11915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16275 ÷ 215
    16275 ÷ 32768     		x = 0.496673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11915 ÷ 215
    11915 ÷ 32768     		y = 0.363616943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.00665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02090049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363616943359375 × 2 - 1) × π
    0.27276611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.856920017608124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02090049} λ = -0.02090049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856920017608124))-π/2
    2×atan(2.35589339769685)-π/2
    2×1.16937686311325-π/2
    2.3387537262265-1.57079632675     		φ = 0.76795740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02090049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.197510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76795740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.000718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16275 KachelY 11915 -0.02090049 0.76795740 -1.197510 44.000718
    Oben rechts KachelX + 1 16276 KachelY 11915 -0.02070874 0.76795740 -1.186523 44.000718
    Unten links KachelX 16275 KachelY + 1 11916 -0.02090049 0.76781946 -1.197510 43.992814
    Unten rechts KachelX + 1 16276 KachelY + 1 11916 -0.02070874 0.76781946 -1.186523 43.992814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76795740-0.76781946) × R
    0.000137940000000003 × 6371000     		dl = 878.815740000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76795740-0.76781946) × R
    0.000137940000000003 × 6371000     		dr = 878.815740000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02090049--0.02070874) × cos(0.76795740) × R
    0.000191750000000001 × 0.719331096822375 × 6371000     		do = 878.763101623768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02090049--0.02070874) × cos(0.76781946) × R
    0.000191750000000001 × 0.71942691239738 × 6371000     		du = 878.880153690956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76795740)-sin(0.76781946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719331096822375-0.71942691239738)×R²
    abs(-0.02070874--0.02090049)×9.58155750050427e-05×R²
    0.000191750000000001×9.58155750050427e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.58155750050427e-05×40589641000000     		ar = 772322.28026271m²