Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16273 / 11377
↖ ↑ ↗
← N 48.100095°
W  1.219482°		 ← 815.81 m → N 48.100095°
W  1.208496°		 →
↑
815.87 m
↓
↑
815.87 m
↓
N 48.092757°
W  1.219482°		 ← 815.92 m →
665 640 m²		 N 48.092757°
W  1.208496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496627807617188 y=0.347213745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496627807617188 × 215)
    floor (0.496627807617188 × 32768)
    floor (16273.5)     		tx = 16273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347213745117188 × 215)
    floor (0.347213745117188 × 32768)
    floor (11377.5)     		ty = 11377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16273 / 11377 ti = "15/16273/11377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16273/11377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16273 ÷ 215
    16273 ÷ 32768     		x = 0.496612548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11377 ÷ 215
    11377 ÷ 32768     		y = 0.347198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.00677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02128398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347198486328125 × 2 - 1) × π
    0.30560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.960080225590485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02128398} λ = -0.02128398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960080225590485))-π/2
    2×atan(2.61190600671972)-π/2
    2×1.20515067488864-π/2
    2.41030134977728-1.57079632675     		φ = 0.83950502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02128398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.219482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83950502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.100095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16273 KachelY 11377 -0.02128398 0.83950502 -1.219482 48.100095
    Oben rechts KachelX + 1 16274 KachelY 11377 -0.02109224 0.83950502 -1.208496 48.100095
    Unten links KachelX 16273 KachelY + 1 11378 -0.02128398 0.83937696 -1.219482 48.092757
    Unten rechts KachelX + 1 16274 KachelY + 1 11378 -0.02109224 0.83937696 -1.208496 48.092757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83950502-0.83937696) × R
    0.000128060000000096 × 6371000     		dl = 815.870260000614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83950502-0.83937696) × R
    0.000128060000000096 × 6371000     		dr = 815.870260000614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02128398--0.02109224) × cos(0.83950502) × R
    0.000191739999999999 × 0.66783132751185 × 6371000     		do = 815.806414534202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02128398--0.02109224) × cos(0.83937696) × R
    0.000191739999999999 × 0.66792663871329 × 6371000     		du = 815.92284436657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83950502)-sin(0.83937696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66783132751185-0.66792663871329)×R²
    abs(-0.02109224--0.02128398)×9.53112014399071e-05×R²
    0.000191739999999999×9.53112014399071e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.53112014399071e-05×40589641000000     		ar = 665639.688264184m²