Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16269 / 11900
↖ ↑ ↗
← N 44.119141°
W  1.263428°		 ← 876.96 m → N 44.119141°
W  1.252442°		 →
↑
877.03 m
↓
↑
877.03 m
↓
N 44.111254°
W  1.263428°		 ← 877.08 m →
769 174 m²		 N 44.111254°
W  1.252442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496505737304688 y=0.363174438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496505737304688 × 215)
    floor (0.496505737304688 × 32768)
    floor (16269.5)     		tx = 16269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363174438476562 × 215)
    floor (0.363174438476562 × 32768)
    floor (11900.5)     		ty = 11900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16269 / 11900 ti = "15/16269/11900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16269/11900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16269 ÷ 215
    16269 ÷ 32768     		x = 0.496490478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11900 ÷ 215
    11900 ÷ 32768     		y = 0.3631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496490478515625 × 2 - 1) × π
    -0.00701904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02205097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3631591796875 × 2 - 1) × π
    0.273681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.859796231585327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02205097} λ = -0.02205097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859796231585327))-π/2
    2×atan(2.36267920525536)-π/2
    2×1.17041030469621-π/2
    2.34082060939241-1.57079632675     		φ = 0.77002428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02205097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.263428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77002428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.119141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16269 KachelY 11900 -0.02205097 0.77002428 -1.263428 44.119141
    Oben rechts KachelX + 1 16270 KachelY 11900 -0.02185923 0.77002428 -1.252442 44.119141
    Unten links KachelX 16269 KachelY + 1 11901 -0.02205097 0.76988662 -1.263428 44.111254
    Unten rechts KachelX + 1 16270 KachelY + 1 11901 -0.02185923 0.76988662 -1.252442 44.111254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77002428-0.76988662) × R
    0.000137660000000039 × 6371000     		dl = 877.031860000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77002428-0.76988662) × R
    0.000137660000000039 × 6371000     		dr = 877.031860000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02205097--0.02185923) × cos(0.77002428) × R
    0.000191739999999999 × 0.71789376723574 × 6371000     		do = 876.961466373631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02205097--0.02185923) × cos(0.76988662) × R
    0.000191739999999999 × 0.71798959280975 × 6371000     		du = 877.078524550947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77002428)-sin(0.76988662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71789376723574-0.71798959280975)×R²
    abs(-0.02185923--0.02205097)×9.5825574009889e-05×R²
    0.000191739999999999×9.5825574009889e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.5825574009889e-05×40589641000000     		ar = 769174.479092257m²