Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16264 / 11944
↖ ↑ ↗
← N 43.771094°
W  1.318359°		 ← 882.16 m → N 43.771094°
W  1.307373°		 →
↑
882.19 m
↓
↑
882.19 m
↓
N 43.763160°
W  1.318359°		 ← 882.27 m →
778 284 m²		 N 43.763160°
W  1.307373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496353149414062 y=0.364517211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496353149414062 × 215)
    floor (0.496353149414062 × 32768)
    floor (16264.5)     		tx = 16264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364517211914062 × 215)
    floor (0.364517211914062 × 32768)
    floor (11944.5)     		ty = 11944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16264 / 11944 ti = "15/16264/11944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16264/11944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16264 ÷ 215
    16264 ÷ 32768     		x = 0.496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11944 ÷ 215
    11944 ÷ 32768     		y = 0.364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.00732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02300971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364501953125 × 2 - 1) × π
    0.27099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.851359337252197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02300971} λ = -0.02300971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851359337252197))-π/2
    2×atan(2.34282938362569)-π/2
    2×1.16737301554826-π/2
    2.33474603109651-1.57079632675     		φ = 0.76394970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02300971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.318359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76394970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.771094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16264 KachelY 11944 -0.02300971 0.76394970 -1.318359 43.771094
    Oben rechts KachelX + 1 16265 KachelY 11944 -0.02281796 0.76394970 -1.307373 43.771094
    Unten links KachelX 16264 KachelY + 1 11945 -0.02300971 0.76381123 -1.318359 43.763160
    Unten rechts KachelX + 1 16265 KachelY + 1 11945 -0.02281796 0.76381123 -1.307373 43.763160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76394970-0.76381123) × R
    0.000138470000000002 × 6371000     		dl = 882.19237000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76394970-0.76381123) × R
    0.000138470000000002 × 6371000     		dr = 882.19237000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02300971--0.02281796) × cos(0.76394970) × R
    0.000191749999999997 × 0.722109331023211 × 6371000     		do = 882.157101569185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02300971--0.02281796) × cos(0.76381123) × R
    0.000191749999999997 × 0.722205114731109 × 6371000     		du = 882.274114706264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76394970)-sin(0.76381123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722109331023211-0.722205114731109)×R²
    abs(-0.02281796--0.02300971)×9.57837078980894e-05×R²
    0.000191749999999997×9.57837078980894e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.57837078980894e-05×40589641000000     		ar = 778283.879438177m²