Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16262 / 11910
↖ ↑ ↗
← N 44.040219°
W  1.340332°		 ← 878.18 m → N 44.040219°
W  1.329346°		 →
↑
878.24 m
↓
↑
878.24 m
↓
N 44.032321°
W  1.340332°		 ← 878.29 m →
771 304 m²		 N 44.032321°
W  1.329346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496292114257812 y=0.363479614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496292114257812 × 215)
    floor (0.496292114257812 × 32768)
    floor (16262.5)     		tx = 16262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363479614257812 × 215)
    floor (0.363479614257812 × 32768)
    floor (11910.5)     		ty = 11910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16262 / 11910 ti = "15/16262/11910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16262/11910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16262 ÷ 215
    16262 ÷ 32768     		x = 0.49627685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11910 ÷ 215
    11910 ÷ 32768     		y = 0.36346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.0074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02339321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36346435546875 × 2 - 1) × π
    0.2730712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.857878755600525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02339321} λ = -0.02339321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.857878755600525))-π/2
    2×atan(2.3581531652927)-π/2
    2×1.16972157331001-π/2
    2.33944314662002-1.57079632675     		φ = 0.76864682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02339321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.340332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76864682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.040219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16262 KachelY 11910 -0.02339321 0.76864682 -1.340332 44.040219
    Oben rechts KachelX + 1 16263 KachelY 11910 -0.02320146 0.76864682 -1.329346 44.040219
    Unten links KachelX 16262 KachelY + 1 11911 -0.02339321 0.76850897 -1.340332 44.032321
    Unten rechts KachelX + 1 16263 KachelY + 1 11911 -0.02320146 0.76850897 -1.329346 44.032321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76864682-0.76850897) × R
    0.000137849999999995 × 6371000     		dl = 878.242349999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76864682-0.76850897) × R
    0.000137849999999995 × 6371000     		dr = 878.242349999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02339321--0.02320146) × cos(0.76864682) × R
    0.000191750000000001 × 0.71885200832405 × 6371000     		do = 878.177828309991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02339321--0.02320146) × cos(0.76850897) × R
    0.000191750000000001 × 0.718947829732452 × 6371000     		du = 878.294887503484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76864682)-sin(0.76850897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71885200832405-0.718947829732452)×R²
    abs(-0.02320146--0.02339321)×9.58214084011422e-05×R²
    0.000191750000000001×9.58214084011422e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.58214084011422e-05×40589641000000     		ar = 771304.364044762m²