Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16258 / 11911
↖ ↑ ↗
← N 44.032321°
W  1.384277°		 ← 878.29 m → N 44.032321°
W  1.373291°		 →
↑
878.31 m
↓
↑
878.31 m
↓
N 44.024422°
W  1.384277°		 ← 878.41 m →
771 463 m²		 N 44.024422°
W  1.373291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496170043945312 y=0.363510131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496170043945312 × 215)
    floor (0.496170043945312 × 32768)
    floor (16258.5)     		tx = 16258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363510131835938 × 215)
    floor (0.363510131835938 × 32768)
    floor (11911.5)     		ty = 11911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16258 / 11911 ti = "15/16258/11911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16258/11911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16258 ÷ 215
    16258 ÷ 32768     		x = 0.49615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11911 ÷ 215
    11911 ÷ 32768     		y = 0.363494873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.0076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02416020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363494873046875 × 2 - 1) × π
    0.27301025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.857687008002045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02416020} λ = -0.02416020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.857687008002045))-π/2
    2×atan(2.35770103843491)-π/2
    2×1.16965264964357-π/2
    2.33930529928714-1.57079632675     		φ = 0.76850897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02416020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76850897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.032321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16258 KachelY 11911 -0.02416020 0.76850897 -1.384277 44.032321
    Oben rechts KachelX + 1 16259 KachelY 11911 -0.02396845 0.76850897 -1.373291 44.032321
    Unten links KachelX 16258 KachelY + 1 11912 -0.02416020 0.76837111 -1.384277 44.024422
    Unten rechts KachelX + 1 16259 KachelY + 1 11912 -0.02396845 0.76837111 -1.373291 44.024422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76850897-0.76837111) × R
    0.000137859999999934 × 6371000     		dl = 878.30605999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76850897-0.76837111) × R
    0.000137859999999934 × 6371000     		dr = 878.30605999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02416020--0.02396845) × cos(0.76850897) × R
    0.000191750000000001 × 0.718947829732452 × 6371000     		do = 878.294887503484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02416020--0.02396845) × cos(0.76837111) × R
    0.000191750000000001 × 0.719043644428608 × 6371000     		du = 878.411938497035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76850897)-sin(0.76837111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718947829732452-0.719043644428608)×R²
    abs(-0.02396845--0.02416020)×9.58146961560491e-05×R²
    0.000191750000000001×9.58146961560491e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.58146961560491e-05×40589641000000     		ar = 771463.12668136m²