Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16257 / 11905
↖ ↑ ↗
← N 44.079693°
W  1.395264°		 ← 877.59 m → N 44.079693°
W  1.384277°		 →
↑
877.61 m
↓
↑
877.61 m
↓
N 44.071801°
W  1.395264°		 ← 877.71 m →
770 231 m²		 N 44.071801°
W  1.384277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496139526367188 y=0.363327026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496139526367188 × 215)
    floor (0.496139526367188 × 32768)
    floor (16257.5)     		tx = 16257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363327026367188 × 215)
    floor (0.363327026367188 × 32768)
    floor (11905.5)     		ty = 11905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16257 / 11905 ti = "15/16257/11905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16257/11905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16257 ÷ 215
    16257 ÷ 32768     		x = 0.496124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11905 ÷ 215
    11905 ÷ 32768     		y = 0.363311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.00775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02435195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363311767578125 × 2 - 1) × π
    0.27337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.858837493592926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02435195} λ = -0.02435195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858837493592926))-π/2
    2×atan(2.36041510045249)-π/2
    2×1.17006605384112-π/2
    2.34013210768225-1.57079632675     		φ = 0.76933578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02435195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.395264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76933578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.079693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16257 KachelY 11905 -0.02435195 0.76933578 -1.395264 44.079693
    Oben rechts KachelX + 1 16258 KachelY 11905 -0.02416020 0.76933578 -1.384277 44.079693
    Unten links KachelX 16257 KachelY + 1 11906 -0.02435195 0.76919803 -1.395264 44.071801
    Unten rechts KachelX + 1 16258 KachelY + 1 11906 -0.02416020 0.76919803 -1.384277 44.071801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76933578-0.76919803) × R
    0.000137750000000048 × 6371000     		dl = 877.605250000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76933578-0.76919803) × R
    0.000137750000000048 × 6371000     		dr = 877.605250000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02435195--0.02416020) × cos(0.76933578) × R
    0.000191750000000001 × 0.718372898158289 × 6371000     		do = 877.592528526423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02435195--0.02416020) × cos(0.76919803) × R
    0.000191750000000001 × 0.7184687182642 × 6371000     		du = 877.709586128742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76933578)-sin(0.76919803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718372898158289-0.7184687182642)×R²
    abs(-0.02416020--0.02435195)×9.58201059104713e-05×R²
    0.000191750000000001×9.58201059104713e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.58201059104713e-05×40589641000000     		ar = 770231.176797278m²