Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16256 / 11906
↖ ↑ ↗
← N 44.071801°
W  1.406250°		 ← 877.66 m → N 44.071801°
W  1.395264°		 →
↑
877.80 m
↓
↑
877.80 m
↓
N 44.063907°
W  1.406250°		 ← 877.78 m →
770 461 m²		 N 44.063907°
W  1.395264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496109008789062 y=0.363357543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496109008789062 × 215)
    floor (0.496109008789062 × 32768)
    floor (16256.5)     		tx = 16256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363357543945312 × 215)
    floor (0.363357543945312 × 32768)
    floor (11906.5)     		ty = 11906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16256 / 11906 ti = "15/16256/11906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16256/11906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16256 ÷ 215
    16256 ÷ 32768     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11906 ÷ 215
    11906 ÷ 32768     		y = 0.36334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36334228515625 × 2 - 1) × π
    0.2733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.858645745994446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858645745994446))-π/2
    2×atan(2.35996253991565)-π/2
    2×1.16999717610866-π/2
    2.33999435221732-1.57079632675     		φ = 0.76919803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76919803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.071801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16256 KachelY 11906 -0.02454369 0.76919803 -1.406250 44.071801
    Oben rechts KachelX + 1 16257 KachelY 11906 -0.02435195 0.76919803 -1.395264 44.071801
    Unten links KachelX 16256 KachelY + 1 11907 -0.02454369 0.76906025 -1.406250 44.063907
    Unten rechts KachelX + 1 16257 KachelY + 1 11907 -0.02435195 0.76906025 -1.395264 44.063907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76919803-0.76906025) × R
    0.000137779999999976 × 6371000     		dl = 877.796379999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76919803-0.76906025) × R
    0.000137779999999976 × 6371000     		dr = 877.796379999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.02435195) × cos(0.76919803) × R
    0.000191739999999999 × 0.7184687182642 × 6371000     		do = 877.663812486694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.02435195) × cos(0.76906025) × R
    0.000191739999999999 × 0.71856454560093 × 6371000     		du = 877.780872817307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76919803)-sin(0.76906025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7184687182642-0.71856454560093)×R²
    abs(-0.02435195--0.02454369)×9.58273367301921e-05×R²
    0.000191739999999999×9.58273367301921e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.58273367301921e-05×40589641000000     		ar = 770461.496243708m²