Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16252 / 11908
↖ ↑ ↗
← N 44.056012°
W  1.450195°		 ← 877.90 m → N 44.056012°
W  1.439209°		 →
↑
877.99 m
↓
↑
877.99 m
↓
N 44.048116°
W  1.450195°		 ← 878.01 m →
770 835 m²		 N 44.048116°
W  1.439209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495986938476562 y=0.363418579101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495986938476562 × 215)
    floor (0.495986938476562 × 32768)
    floor (16252.5)     		tx = 16252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363418579101562 × 215)
    floor (0.363418579101562 × 32768)
    floor (11908.5)     		ty = 11908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16252 / 11908 ti = "15/16252/11908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16252/11908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16252 ÷ 215
    16252 ÷ 32768     		x = 0.4959716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11908 ÷ 215
    11908 ÷ 32768     		y = 0.3634033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4959716796875 × 2 - 1) × π
    -0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3634033203125 × 2 - 1) × π
    0.273193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.858262250797485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02531068} λ = -0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858262250797485))-π/2
    2×atan(2.35905767913256)-π/2
    2×1.16985939308293-π/2
    2.33971878616585-1.57079632675     		φ = 0.76892246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76892246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.056012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16252 KachelY 11908 -0.02531068 0.76892246 -1.450195 44.056012
    Oben rechts KachelX + 1 16253 KachelY 11908 -0.02511894 0.76892246 -1.439209 44.056012
    Unten links KachelX 16252 KachelY + 1 11909 -0.02531068 0.76878465 -1.450195 44.048116
    Unten rechts KachelX + 1 16253 KachelY + 1 11909 -0.02511894 0.76878465 -1.439209 44.048116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76892246-0.76878465) × R
    0.000137810000000016 × 6371000     		dl = 877.987510000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76892246-0.76878465) × R
    0.000137810000000016 × 6371000     		dr = 877.987510000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02531068--0.02511894) × cos(0.76892246) × R
    0.000191739999999999 × 0.718660366250526 × 6371000     		do = 877.897924979081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02531068--0.02511894) × cos(0.76878465) × R
    0.000191739999999999 × 0.71875618716082 × 6371000     		du = 878.014977459317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76892246)-sin(0.76878465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718660366250526-0.71875618716082)×R²
    abs(-0.02511894--0.02531068)×9.58209102943641e-05×R²
    0.000191739999999999×9.58209102943641e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.58209102943641e-05×40589641000000     		ar = 770834.799713749m²