Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16251 / 11907
↖ ↑ ↗
← N 44.063907°
W  1.461182°		 ← 877.83 m → N 44.063907°
W  1.450195°		 →
↑
877.86 m
↓
↑
877.86 m
↓
N 44.056012°
W  1.461182°		 ← 877.94 m →
770 660 m²		 N 44.056012°
W  1.450195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495956420898438 y=0.363388061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495956420898438 × 215)
    floor (0.495956420898438 × 32768)
    floor (16251.5)     		tx = 16251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363388061523438 × 215)
    floor (0.363388061523438 × 32768)
    floor (11907.5)     		ty = 11907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16251 / 11907 ti = "15/16251/11907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16251/11907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16251 ÷ 215
    16251 ÷ 32768     		x = 0.495941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11907 ÷ 215
    11907 ÷ 32768     		y = 0.363372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495941162109375 × 2 - 1) × π
    -0.00811767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02550243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363372802734375 × 2 - 1) × π
    0.27325439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.858453998395966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02550243} λ = -0.02550243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858453998395966))-π/2
    2×atan(2.35951006614788)-π/2
    2×1.16992828918923-π/2
    2.33985657837846-1.57079632675     		φ = 0.76906025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02550243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.461182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76906025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.063907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16251 KachelY 11907 -0.02550243 0.76906025 -1.461182 44.063907
    Oben rechts KachelX + 1 16252 KachelY 11907 -0.02531068 0.76906025 -1.450195 44.063907
    Unten links KachelX 16251 KachelY + 1 11908 -0.02550243 0.76892246 -1.461182 44.056012
    Unten rechts KachelX + 1 16252 KachelY + 1 11908 -0.02531068 0.76892246 -1.450195 44.056012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76906025-0.76892246) × R
    0.000137790000000027 × 6371000     		dl = 877.860090000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76906025-0.76892246) × R
    0.000137790000000027 × 6371000     		dr = 877.860090000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02550243--0.02531068) × cos(0.76906025) × R
    0.000191750000000001 × 0.71856454560093 × 6371000     		do = 877.826652564515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02550243--0.02531068) × cos(0.76892246) × R
    0.000191750000000001 × 0.718660366250526 × 6371000     		du = 877.943710831022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76906025)-sin(0.76892246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71856454560093-0.718660366250526)×R²
    abs(-0.02531068--0.02550243)×9.58206495961234e-05×R²
    0.000191750000000001×9.58206495961234e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.58206495961234e-05×40589641000000     		ar = 770660.36583457m²