Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16240 / 11214
↖ ↑ ↗
← N 49.282140°
W  1.582031°		 ← 796.88 m → N 49.282140°
W  1.571045°		 →
↑
796.95 m
↓
↑
796.95 m
↓
N 49.274973°
W  1.582031°		 ← 796.99 m →
635 115 m²		 N 49.274973°
W  1.571045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495620727539062 y=0.342239379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495620727539062 × 215)
    floor (0.495620727539062 × 32768)
    floor (16240.5)     		tx = 16240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342239379882812 × 215)
    floor (0.342239379882812 × 32768)
    floor (11214.5)     		ty = 11214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16240 / 11214 ti = "15/16240/11214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16240/11214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16240 ÷ 215
    16240 ÷ 32768     		x = 0.49560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11214 ÷ 215
    11214 ÷ 32768     		y = 0.34222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34222412109375 × 2 - 1) × π
    0.3155517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.991335084142761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02761165} λ = -0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991335084142761))-π/2
    2×atan(2.6948298963805)-π/2
    2×1.21546596749677-π/2
    2.43093193499355-1.57079632675     		φ = 0.86013561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86013561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.282140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16240 KachelY 11214 -0.02761165 0.86013561 -1.582031 49.282140
    Oben rechts KachelX + 1 16241 KachelY 11214 -0.02741991 0.86013561 -1.571045 49.282140
    Unten links KachelX 16240 KachelY + 1 11215 -0.02761165 0.86001052 -1.582031 49.274973
    Unten rechts KachelX + 1 16241 KachelY + 1 11215 -0.02741991 0.86001052 -1.571045 49.274973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86013561-0.86001052) × R
    0.00012509000000005 × 6371000     		dl = 796.948390000318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86013561-0.86001052) × R
    0.00012509000000005 × 6371000     		dr = 796.948390000318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02761165--0.02741991) × cos(0.86013561) × R
    0.000191740000000003 × 0.652334691135227 × 6371000     		do = 796.876102584259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02761165--0.02741991) × cos(0.86001052) × R
    0.000191740000000003 × 0.652429495624188 × 6371000     		du = 796.991913429056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86013561)-sin(0.86001052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652334691135227-0.652429495624188)×R²
    abs(-0.02741991--0.02761165)×9.48044889610422e-05×R²
    0.000191740000000003×9.48044889610422e-05×6371000²
    0.000191740000000003×9.48044889610422e-05×40589641000000     		ar = 635115.275445356m²