Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16232 / 11282
↖ ↑ ↗
← N 48.792390°
W  1.669922°		 ← 804.76 m → N 48.792390°
W  1.658936°		 →
↑
804.85 m
↓
↑
804.85 m
↓
N 48.785152°
W  1.669922°		 ← 804.88 m →
647 757 m²		 N 48.785152°
W  1.658936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495376586914062 y=0.344314575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495376586914062 × 215)
    floor (0.495376586914062 × 32768)
    floor (16232.5)     		tx = 16232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344314575195312 × 215)
    floor (0.344314575195312 × 32768)
    floor (11282.5)     		ty = 11282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16232 / 11282 ti = "15/16232/11282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16232/11282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16232 ÷ 215
    16232 ÷ 32768     		x = 0.495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11282 ÷ 215
    11282 ÷ 32768     		y = 0.34429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.00927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02914563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34429931640625 × 2 - 1) × π
    0.3114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.978296247446106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02914563} λ = -0.02914563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978296247446106))-π/2
    2×atan(2.65992053276271)-π/2
    2×1.21119209281129-π/2
    2.42238418562258-1.57079632675     		φ = 0.85158786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02914563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85158786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.792390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16232 KachelY 11282 -0.02914563 0.85158786 -1.669922 48.792390
    Oben rechts KachelX + 1 16233 KachelY 11282 -0.02895389 0.85158786 -1.658936 48.792390
    Unten links KachelX 16232 KachelY + 1 11283 -0.02914563 0.85146153 -1.669922 48.785152
    Unten rechts KachelX + 1 16233 KachelY + 1 11283 -0.02895389 0.85146153 -1.658936 48.785152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85158786-0.85146153) × R
    0.000126329999999952 × 6371000     		dl = 804.848429999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85158786-0.85146153) × R
    0.000126329999999952 × 6371000     		dr = 804.848429999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02914563--0.02895389) × cos(0.85158786) × R
    0.000191739999999999 × 0.658789386274791 × 6371000     		do = 804.761000284893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02914563--0.02895389) × cos(0.85146153) × R
    0.000191739999999999 × 0.658884422540411 × 6371000     		du = 804.877094262387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85158786)-sin(0.85146153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658789386274791-0.658884422540411)×R²
    abs(-0.02895389--0.02914563)×9.50362656197967e-05×R²
    0.000191739999999999×9.50362656197967e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.50362656197967e-05×40589641000000     		ar = 647757.34749381m²