Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16231 / 11479
↖ ↑ ↗
← N 47.346267°
W  1.680908°		 ← 827.74 m → N 47.346267°
W  1.669922°		 →
↑
827.78 m
↓
↑
827.78 m
↓
N 47.338823°
W  1.680908°		 ← 827.86 m →
685 239 m²		 N 47.338823°
W  1.669922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495346069335938 y=0.350326538085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495346069335938 × 215)
    floor (0.495346069335938 × 32768)
    floor (16231.5)     		tx = 16231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350326538085938 × 215)
    floor (0.350326538085938 × 32768)
    floor (11479.5)     		ty = 11479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16231 / 11479 ti = "15/16231/11479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16231/11479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16231 ÷ 215
    16231 ÷ 32768     		x = 0.495330810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11479 ÷ 215
    11479 ÷ 32768     		y = 0.350311279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495330810546875 × 2 - 1) × π
    -0.00933837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02933738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350311279296875 × 2 - 1) × π
    0.29937744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.940521970545502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02933738} λ = -0.02933738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.940521970545502))-π/2
    2×atan(2.56131800202499)-π/2
    2×1.19857228881622-π/2
    2.39714457763244-1.57079632675     		φ = 0.82634825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02933738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.680908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82634825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.346267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16231 KachelY 11479 -0.02933738 0.82634825 -1.680908 47.346267
    Oben rechts KachelX + 1 16232 KachelY 11479 -0.02914563 0.82634825 -1.669922 47.346267
    Unten links KachelX 16231 KachelY + 1 11480 -0.02933738 0.82621832 -1.680908 47.338823
    Unten rechts KachelX + 1 16232 KachelY + 1 11480 -0.02914563 0.82621832 -1.669922 47.338823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82634825-0.82621832) × R
    0.000129930000000056 × 6371000     		dl = 827.784030000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82634825-0.82621832) × R
    0.000129930000000056 × 6371000     		dr = 827.784030000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02933738--0.02914563) × cos(0.82634825) × R
    0.000191750000000001 × 0.677565995143577 × 6371000     		do = 827.741214132707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02933738--0.02914563) × cos(0.82621832) × R
    0.000191750000000001 × 0.677661547998942 × 6371000     		du = 827.857945251271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82634825)-sin(0.82621832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677565995143577-0.677661547998942)×R²
    abs(-0.02914563--0.02933738)×9.55528553651108e-05×R²
    0.000191750000000001×9.55528553651108e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.55528553651108e-05×40589641000000     		ar = 685239.273074265m²