Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16230 / 11874
↖ ↑ ↗
← N 44.323848°
W  1.691895°		 ← 873.96 m → N 44.323848°
W  1.680908°		 →
↑
874.04 m
↓
↑
874.04 m
↓
N 44.315988°
W  1.691895°		 ← 874.08 m →
763 928 m²		 N 44.315988°
W  1.680908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495315551757812 y=0.362380981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495315551757812 × 215)
    floor (0.495315551757812 × 32768)
    floor (16230.5)     		tx = 16230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362380981445312 × 215)
    floor (0.362380981445312 × 32768)
    floor (11874.5)     		ty = 11874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16230 / 11874 ti = "15/16230/11874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16230/11874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16230 ÷ 215
    16230 ÷ 32768     		x = 0.49530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11874 ÷ 215
    11874 ÷ 32768     		y = 0.36236572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.0093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02952913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36236572265625 × 2 - 1) × π
    0.2752685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.864781669145813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02952913} λ = -0.02952913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.864781669145813))-π/2
    2×atan(2.37448760547187)-π/2
    2×1.1721967063981-π/2
    2.3443934127962-1.57079632675     		φ = 0.77359709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02952913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.691895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77359709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.323848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16230 KachelY 11874 -0.02952913 0.77359709 -1.691895 44.323848
    Oben rechts KachelX + 1 16231 KachelY 11874 -0.02933738 0.77359709 -1.680908 44.323848
    Unten links KachelX 16230 KachelY + 1 11875 -0.02952913 0.77345990 -1.691895 44.315988
    Unten rechts KachelX + 1 16231 KachelY + 1 11875 -0.02933738 0.77345990 -1.680908 44.315988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77359709-0.77345990) × R
    0.000137190000000009 × 6371000     		dl = 874.037490000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77359709-0.77345990) × R
    0.000137190000000009 × 6371000     		dr = 874.037490000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02952913--0.02933738) × cos(0.77359709) × R
    0.000191750000000001 × 0.715401969367119 × 6371000     		do = 873.963125306174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02952913--0.02933738) × cos(0.77345990) × R
    0.000191750000000001 × 0.715497819087246 × 6371000     		du = 874.080219086383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77359709)-sin(0.77345990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715401969367119-0.715497819087246)×R²
    abs(-0.02933738--0.02952913)×9.58497201274389e-05×R²
    0.000191750000000001×9.58497201274389e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.58497201274389e-05×40589641000000     		ar = 763927.709770296m²