Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16230 / 11283
↖ ↑ ↗
← N 48.785152°
W  1.691895°		 ← 804.92 m → N 48.785152°
W  1.680908°		 →
↑
804.98 m
↓
↑
804.98 m
↓
N 48.777913°
W  1.691895°		 ← 805.04 m →
647 987 m²		 N 48.777913°
W  1.680908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495315551757812 y=0.344345092773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495315551757812 × 215)
    floor (0.495315551757812 × 32768)
    floor (16230.5)     		tx = 16230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344345092773438 × 215)
    floor (0.344345092773438 × 32768)
    floor (11283.5)     		ty = 11283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16230 / 11283 ti = "15/16230/11283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16230/11283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16230 ÷ 215
    16230 ÷ 32768     		x = 0.49530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11283 ÷ 215
    11283 ÷ 32768     		y = 0.344329833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.0093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02952913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344329833984375 × 2 - 1) × π
    0.31134033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.978104499847626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02952913} λ = -0.02952913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978104499847626))-π/2
    2×atan(2.65941054828411)-π/2
    2×1.21112892761411-π/2
    2.42225785522822-1.57079632675     		φ = 0.85146153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02952913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.691895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85146153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.785152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16230 KachelY 11283 -0.02952913 0.85146153 -1.691895 48.785152
    Oben rechts KachelX + 1 16231 KachelY 11283 -0.02933738 0.85146153 -1.680908 48.785152
    Unten links KachelX 16230 KachelY + 1 11284 -0.02952913 0.85133518 -1.691895 48.777913
    Unten rechts KachelX + 1 16231 KachelY + 1 11284 -0.02933738 0.85133518 -1.680908 48.777913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85146153-0.85133518) × R
    0.000126350000000053 × 6371000     		dl = 804.975850000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85146153-0.85133518) × R
    0.000126350000000053 × 6371000     		dr = 804.975850000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02952913--0.02933738) × cos(0.85146153) × R
    0.000191750000000001 × 0.658884422540411 × 6371000     		do = 804.919071788954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02952913--0.02933738) × cos(0.85133518) × R
    0.000191750000000001 × 0.658979463333936 × 6371000     		du = 805.035177352676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85146153)-sin(0.85133518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658884422540411-0.658979463333936)×R²
    abs(-0.02933738--0.02952913)×9.50407935249586e-05×R²
    0.000191750000000001×9.50407935249586e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.50407935249586e-05×40589641000000     		ar = 647987.14594361m²