Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16226 / 11490
↖ ↑ ↗
← N 47.264320°
W  1.735840°		 ← 829.03 m → N 47.264320°
W  1.724853°		 →
↑
829.06 m
↓
↑
829.06 m
↓
N 47.256864°
W  1.735840°		 ← 829.14 m →
687 359 m²		 N 47.256864°
W  1.724853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495193481445312 y=0.350662231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495193481445312 × 215)
    floor (0.495193481445312 × 32768)
    floor (16226.5)     		tx = 16226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350662231445312 × 215)
    floor (0.350662231445312 × 32768)
    floor (11490.5)     		ty = 11490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16226 / 11490 ti = "15/16226/11490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16226/11490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16226 ÷ 215
    16226 ÷ 32768     		x = 0.49517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11490 ÷ 215
    11490 ÷ 32768     		y = 0.35064697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.0096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03029612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35064697265625 × 2 - 1) × π
    0.2987060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.938412746962219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03029612} λ = -0.03029612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.938412746962219))-π/2
    2×atan(2.55592130311388)-π/2
    2×1.19785716544681-π/2
    2.39571433089361-1.57079632675     		φ = 0.82491800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03029612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.735840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82491800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.264320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16226 KachelY 11490 -0.03029612 0.82491800 -1.735840 47.264320
    Oben rechts KachelX + 1 16227 KachelY 11490 -0.03010437 0.82491800 -1.724853 47.264320
    Unten links KachelX 16226 KachelY + 1 11491 -0.03029612 0.82478787 -1.735840 47.256864
    Unten rechts KachelX + 1 16227 KachelY + 1 11491 -0.03010437 0.82478787 -1.724853 47.256864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82491800-0.82478787) × R
    0.000130130000000062 × 6371000     		dl = 829.058230000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82491800-0.82478787) × R
    0.000130130000000062 × 6371000     		dr = 829.058230000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03029612--0.03010437) × cos(0.82491800) × R
    0.000191750000000001 × 0.678617196260608 × 6371000     		do = 829.025402676916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03029612--0.03010437) × cos(0.82478787) × R
    0.000191750000000001 × 0.67871276997648 × 6371000     		du = 829.142159279494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82491800)-sin(0.82478787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678617196260608-0.67871276997648)×R²
    abs(-0.03010437--0.03029612)×9.55737158724324e-05×R²
    0.000191750000000001×9.55737158724324e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.55737158724324e-05×40589641000000     		ar = 687358.732950513m²