Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16226 / 11282
↖ ↑ ↗
← N 48.792390°
W  1.735840°		 ← 804.80 m → N 48.792390°
W  1.724853°		 →
↑
804.85 m
↓
↑
804.85 m
↓
N 48.785152°
W  1.735840°		 ← 804.92 m →
647 791 m²		 N 48.785152°
W  1.724853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495193481445312 y=0.344314575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495193481445312 × 215)
    floor (0.495193481445312 × 32768)
    floor (16226.5)     		tx = 16226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344314575195312 × 215)
    floor (0.344314575195312 × 32768)
    floor (11282.5)     		ty = 11282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16226 / 11282 ti = "15/16226/11282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16226/11282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16226 ÷ 215
    16226 ÷ 32768     		x = 0.49517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11282 ÷ 215
    11282 ÷ 32768     		y = 0.34429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.0096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03029612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34429931640625 × 2 - 1) × π
    0.3114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.978296247446106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03029612} λ = -0.03029612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978296247446106))-π/2
    2×atan(2.65992053276271)-π/2
    2×1.21119209281129-π/2
    2.42238418562258-1.57079632675     		φ = 0.85158786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03029612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.735840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85158786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.792390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16226 KachelY 11282 -0.03029612 0.85158786 -1.735840 48.792390
    Oben rechts KachelX + 1 16227 KachelY 11282 -0.03010437 0.85158786 -1.724853 48.792390
    Unten links KachelX 16226 KachelY + 1 11283 -0.03029612 0.85146153 -1.735840 48.785152
    Unten rechts KachelX + 1 16227 KachelY + 1 11283 -0.03010437 0.85146153 -1.724853 48.785152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85158786-0.85146153) × R
    0.000126329999999952 × 6371000     		dl = 804.848429999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85158786-0.85146153) × R
    0.000126329999999952 × 6371000     		dr = 804.848429999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03029612--0.03010437) × cos(0.85158786) × R
    0.000191750000000001 × 0.658789386274791 × 6371000     		do = 804.8029717567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03029612--0.03010437) × cos(0.85146153) × R
    0.000191750000000001 × 0.658884422540411 × 6371000     		du = 804.919071788954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85158786)-sin(0.85146153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658789386274791-0.658884422540411)×R²
    abs(-0.03010437--0.03029612)×9.50362656197967e-05×R²
    0.000191750000000001×9.50362656197967e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.50362656197967e-05×40589641000000     		ar = 647791.130603626m²