Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16225 / 11357
↖ ↑ ↗
← N 48.246626°
W  1.746826°		 ← 813.52 m → N 48.246626°
W  1.735840°		 →
↑
813.58 m
↓
↑
813.58 m
↓
N 48.239309°
W  1.746826°		 ← 813.64 m →
661 909 m²		 N 48.239309°
W  1.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495162963867188 y=0.346603393554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495162963867188 × 215)
    floor (0.495162963867188 × 32768)
    floor (16225.5)     		tx = 16225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346603393554688 × 215)
    floor (0.346603393554688 × 32768)
    floor (11357.5)     		ty = 11357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16225 / 11357 ti = "15/16225/11357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16225/11357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16225 ÷ 215
    16225 ÷ 32768     		x = 0.495147705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11357 ÷ 215
    11357 ÷ 32768     		y = 0.346588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495147705078125 × 2 - 1) × π
    -0.00970458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03048787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346588134765625 × 2 - 1) × π
    0.30682373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.963915177560089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03048787} λ = -0.03048787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963915177560089))-π/2
    2×atan(2.62194177184368)-π/2
    2×1.20642939815573-π/2
    2.41285879631146-1.57079632675     		φ = 0.84206247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03048787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.746826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84206247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.246626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16225 KachelY 11357 -0.03048787 0.84206247 -1.746826 48.246626
    Oben rechts KachelX + 1 16226 KachelY 11357 -0.03029612 0.84206247 -1.735840 48.246626
    Unten links KachelX 16225 KachelY + 1 11358 -0.03048787 0.84193477 -1.746826 48.239309
    Unten rechts KachelX + 1 16226 KachelY + 1 11358 -0.03029612 0.84193477 -1.735840 48.239309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84206247-0.84193477) × R
    0.000127699999999953 × 6371000     		dl = 813.5766999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84206247-0.84193477) × R
    0.000127699999999953 × 6371000     		dr = 813.5766999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03048787--0.03029612) × cos(0.84206247) × R
    0.000191750000000001 × 0.66592560321415 × 6371000     		do = 813.520854466336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03048787--0.03029612) × cos(0.84193477) × R
    0.000191750000000001 × 0.666020864302854 × 6371000     		du = 813.637229151294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84206247)-sin(0.84193477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66592560321415-0.666020864302854)×R²
    abs(-0.03029612--0.03048787)×9.52610887040573e-05×R²
    0.000191750000000001×9.52610887040573e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.52610887040573e-05×40589641000000     		ar = 661908.952923237m²