Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16223 / 11615
↖ ↑ ↗
← N 46.324172°
W  1.768799°		 ← 843.59 m → N 46.324172°
W  1.757813°		 →
↑
843.71 m
↓
↑
843.71 m
↓
N 46.316584°
W  1.768799°		 ← 843.71 m →
711 798 m²		 N 46.316584°
W  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495101928710938 y=0.354476928710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495101928710938 × 215)
    floor (0.495101928710938 × 32768)
    floor (16223.5)     		tx = 16223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354476928710938 × 215)
    floor (0.354476928710938 × 32768)
    floor (11615.5)     		ty = 11615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16223 / 11615 ti = "15/16223/11615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16223/11615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16223 ÷ 215
    16223 ÷ 32768     		x = 0.495086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11615 ÷ 215
    11615 ÷ 32768     		y = 0.354461669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495086669921875 × 2 - 1) × π
    -0.00982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03087136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354461669921875 × 2 - 1) × π
    0.29107666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.914444297152191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03087136} λ = -0.03087136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.914444297152191))-π/2
    2×atan(2.49538817222483)-π/2
    2×1.18965282237844-π/2
    2.37930564475689-1.57079632675     		φ = 0.80850932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03087136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.768799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80850932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.324172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16223 KachelY 11615 -0.03087136 0.80850932 -1.768799 46.324172
    Oben rechts KachelX + 1 16224 KachelY 11615 -0.03067962 0.80850932 -1.757813 46.324172
    Unten links KachelX 16223 KachelY + 1 11616 -0.03087136 0.80837689 -1.768799 46.316584
    Unten rechts KachelX + 1 16224 KachelY + 1 11616 -0.03067962 0.80837689 -1.757813 46.316584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80850932-0.80837689) × R
    0.000132429999999961 × 6371000     		dl = 843.711529999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80850932-0.80837689) × R
    0.000132429999999961 × 6371000     		dr = 843.711529999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03087136--0.03067962) × cos(0.80850932) × R
    0.000191739999999999 × 0.69057734688062 × 6371000     		do = 843.592395427457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03087136--0.03067962) × cos(0.80837689) × R
    0.000191739999999999 × 0.690673121954347 × 6371000     		du = 843.709391914864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80850932)-sin(0.80837689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69057734688062-0.690673121954347)×R²
    abs(-0.03067962--0.03087136)×9.57750737268226e-05×R²
    0.000191739999999999×9.57750737268226e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.57750737268226e-05×40589641000000     		ar = 711797.987325765m²