Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16223 / 11614
↖ ↑ ↗
← N 46.331758°
W  1.768799°		 ← 843.48 m → N 46.331758°
W  1.757813°		 →
↑
843.58 m
↓
↑
843.58 m
↓
N 46.324172°
W  1.768799°		 ← 843.59 m →
711 592 m²		 N 46.324172°
W  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495101928710938 y=0.354446411132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495101928710938 × 215)
    floor (0.495101928710938 × 32768)
    floor (16223.5)     		tx = 16223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354446411132812 × 215)
    floor (0.354446411132812 × 32768)
    floor (11614.5)     		ty = 11614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16223 / 11614 ti = "15/16223/11614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16223/11614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16223 ÷ 215
    16223 ÷ 32768     		x = 0.495086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11614 ÷ 215
    11614 ÷ 32768     		y = 0.35443115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495086669921875 × 2 - 1) × π
    -0.00982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03087136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35443115234375 × 2 - 1) × π
    0.2911376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.914636044750671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03087136} λ = -0.03087136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.914636044750671))-π/2
    2×atan(2.4958667027912)-π/2
    2×1.18971902606153-π/2
    2.37943805212307-1.57079632675     		φ = 0.80864173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03087136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.768799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80864173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.331758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16223 KachelY 11614 -0.03087136 0.80864173 -1.768799 46.331758
    Oben rechts KachelX + 1 16224 KachelY 11614 -0.03067962 0.80864173 -1.757813 46.331758
    Unten links KachelX 16223 KachelY + 1 11615 -0.03087136 0.80850932 -1.768799 46.324172
    Unten rechts KachelX + 1 16224 KachelY + 1 11615 -0.03067962 0.80850932 -1.757813 46.324172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80864173-0.80850932) × R
    0.000132409999999972 × 6371000     		dl = 843.58410999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80864173-0.80850932) × R
    0.000132409999999972 × 6371000     		dr = 843.58410999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03087136--0.03067962) × cos(0.80864173) × R
    0.000191739999999999 × 0.690481574162751 × 6371000     		do = 843.47540181791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03087136--0.03067962) × cos(0.80850932) × R
    0.000191739999999999 × 0.69057734688062 × 6371000     		du = 843.592395427457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80864173)-sin(0.80850932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690481574162751-0.69057734688062)×R²
    abs(-0.03067962--0.03087136)×9.57727178686474e-05×R²
    0.000191739999999999×9.57727178686474e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.57727178686474e-05×40589641000000     		ar = 711591.794163842m²