Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16222 / 11362
↖ ↑ ↗
← N 48.210032°
W  1.779785°		 ← 814.10 m → N 48.210032°
W  1.768799°		 →
↑
814.15 m
↓
↑
814.15 m
↓
N 48.202710°
W  1.779785°		 ← 814.22 m →
662 849 m²		 N 48.202710°
W  1.768799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495071411132812 y=0.346755981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495071411132812 × 215)
    floor (0.495071411132812 × 32768)
    floor (16222.5)     		tx = 16222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346755981445312 × 215)
    floor (0.346755981445312 × 32768)
    floor (11362.5)     		ty = 11362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16222 / 11362 ti = "15/16222/11362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16222/11362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16222 ÷ 215
    16222 ÷ 32768     		x = 0.49505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11362 ÷ 215
    11362 ÷ 32768     		y = 0.34674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.0098876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03106311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34674072265625 × 2 - 1) × π
    0.3065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.962956439567688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03106311} λ = -0.03106311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962956439567688))-π/2
    2×atan(2.61942922128445)-π/2
    2×1.20611005990181-π/2
    2.41222011980362-1.57079632675     		φ = 0.84142379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03106311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.779785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84142379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.210032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16222 KachelY 11362 -0.03106311 0.84142379 -1.779785 48.210032
    Oben rechts KachelX + 1 16223 KachelY 11362 -0.03087136 0.84142379 -1.768799 48.210032
    Unten links KachelX 16222 KachelY + 1 11363 -0.03106311 0.84129600 -1.779785 48.202710
    Unten rechts KachelX + 1 16223 KachelY + 1 11363 -0.03087136 0.84129600 -1.768799 48.202710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84142379-0.84129600) × R
    0.000127789999999961 × 6371000     		dl = 814.150089999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84142379-0.84129600) × R
    0.000127789999999961 × 6371000     		dr = 814.150089999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03106311--0.03087136) × cos(0.84142379) × R
    0.000191750000000001 × 0.66640193423888 × 6371000     		do = 814.102759142139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03106311--0.03087136) × cos(0.84129600) × R
    0.000191750000000001 × 0.666497208087438 × 6371000     		du = 814.219149415035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84142379)-sin(0.84129600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66640193423888-0.666497208087438)×R²
    abs(-0.03087136--0.03106311)×9.52738485573423e-05×R²
    0.000191750000000001×9.52738485573423e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.52738485573423e-05×40589641000000     		ar = 662849.215101587m²