Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16219 / 11275
↖ ↑ ↗
← N 48.843028°
W  1.812744°		 ← 803.95 m → N 48.843028°
W  1.801758°		 →
↑
804.02 m
↓
↑
804.02 m
↓
N 48.835798°
W  1.812744°		 ← 804.06 m →
646 437 m²		 N 48.835798°
W  1.801758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494979858398438 y=0.344100952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494979858398438 × 215)
    floor (0.494979858398438 × 32768)
    floor (16219.5)     		tx = 16219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344100952148438 × 215)
    floor (0.344100952148438 × 32768)
    floor (11275.5)     		ty = 11275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16219 / 11275 ti = "15/16219/11275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16219/11275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16219 ÷ 215
    16219 ÷ 32768     		x = 0.494964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11275 ÷ 215
    11275 ÷ 32768     		y = 0.344085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.01007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03163835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344085693359375 × 2 - 1) × π
    0.31182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.979638480635468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03163835} λ = -0.03163835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979638480635468))-π/2
    2×atan(2.66349316349825)-π/2
    2×1.21163399409059-π/2
    2.42326798818118-1.57079632675     		φ = 0.85247166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03163835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.812744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85247166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.843028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16219 KachelY 11275 -0.03163835 0.85247166 -1.812744 48.843028
    Oben rechts KachelX + 1 16220 KachelY 11275 -0.03144661 0.85247166 -1.801758 48.843028
    Unten links KachelX 16219 KachelY + 1 11276 -0.03163835 0.85234546 -1.812744 48.835798
    Unten rechts KachelX + 1 16220 KachelY + 1 11276 -0.03144661 0.85234546 -1.801758 48.835798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85247166-0.85234546) × R
    0.000126199999999965 × 6371000     		dl = 804.020199999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85247166-0.85234546) × R
    0.000126199999999965 × 6371000     		dr = 804.020199999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03163835--0.03144661) × cos(0.85247166) × R
    0.000191740000000003 × 0.658124222097955 × 6371000     		do = 803.948451996401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03163835--0.03144661) × cos(0.85234546) × R
    0.000191740000000003 × 0.658219234018474 × 6371000     		du = 804.064516234516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85247166)-sin(0.85234546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658124222097955-0.658219234018474)×R²
    abs(-0.03144661--0.03163835)×9.50119205196387e-05×R²
    0.000191740000000003×9.50119205196387e-05×6371000²
    0.000191740000000003×9.50119205196387e-05×40589641000000     		ar = 646437.455017513m²