Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16216 / 11448
↖ ↑ ↗
← N 47.576526°
W  1.845703°		 ← 824.12 m → N 47.576526°
W  1.834717°		 →
↑
824.15 m
↓
↑
824.15 m
↓
N 47.569114°
W  1.845703°		 ← 824.24 m →
679 252 m²		 N 47.569114°
W  1.834717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494888305664062 y=0.349380493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494888305664062 × 215)
    floor (0.494888305664062 × 32768)
    floor (16216.5)     		tx = 16216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349380493164062 × 215)
    floor (0.349380493164062 × 32768)
    floor (11448.5)     		ty = 11448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16216 / 11448 ti = "15/16216/11448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16216/11448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16216 ÷ 215
    16216 ÷ 32768     		x = 0.494873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11448 ÷ 215
    11448 ÷ 32768     		y = 0.349365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494873046875 × 2 - 1) × π
    -0.01025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03221360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349365234375 × 2 - 1) × π
    0.30126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.946466146098389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03221360} λ = -0.03221360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.946466146098389))-π/2
    2×atan(2.57658826547686)-π/2
    2×1.20058167357063-π/2
    2.40116334714126-1.57079632675     		φ = 0.83036702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03221360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83036702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.576526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16216 KachelY 11448 -0.03221360 0.83036702 -1.845703 47.576526
    Oben rechts KachelX + 1 16217 KachelY 11448 -0.03202185 0.83036702 -1.834717 47.576526
    Unten links KachelX 16216 KachelY + 1 11449 -0.03221360 0.83023766 -1.845703 47.569114
    Unten rechts KachelX + 1 16217 KachelY + 1 11449 -0.03202185 0.83023766 -1.834717 47.569114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83036702-0.83023766) × R
    0.000129359999999967 × 6371000     		dl = 824.152559999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83036702-0.83023766) × R
    0.000129359999999967 × 6371000     		dr = 824.152559999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03221360--0.03202185) × cos(0.83036702) × R
    0.000191750000000004 × 0.674604879051399 × 6371000     		do = 824.123798490711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03221360--0.03202185) × cos(0.83023766) × R
    0.000191750000000004 × 0.674700364244001 × 6371000     		du = 824.240446949787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83036702)-sin(0.83023766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674604879051399-0.674700364244001)×R²
    abs(-0.03202185--0.03221360)×9.54851926018296e-05×R²
    0.000191750000000004×9.54851926018296e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.54851926018296e-05×40589641000000     		ar = 679251.807292601m²