Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16212 / 11476
↖ ↑ ↗
← N 47.368594°
W  1.889649°		 ← 827.39 m → N 47.368594°
W  1.878662°		 →
↑
827.40 m
↓
↑
827.40 m
↓
N 47.361153°
W  1.889649°		 ← 827.51 m →
684 633 m²		 N 47.361153°
W  1.878662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494766235351562 y=0.350234985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494766235351562 × 215)
    floor (0.494766235351562 × 32768)
    floor (16212.5)     		tx = 16212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350234985351562 × 215)
    floor (0.350234985351562 × 32768)
    floor (11476.5)     		ty = 11476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16212 / 11476 ti = "15/16212/11476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16212/11476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16212 ÷ 215
    16212 ÷ 32768     		x = 0.4947509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11476 ÷ 215
    11476 ÷ 32768     		y = 0.3502197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4947509765625 × 2 - 1) × π
    -0.010498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03298059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3502197265625 × 2 - 1) × π
    0.299560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.941097213340942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03298059} λ = -0.03298059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.941097213340942))-π/2
    2×atan(2.56279180560929)-π/2
    2×1.19876713007111-π/2
    2.39753426014222-1.57079632675     		φ = 0.82673793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03298059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.889649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82673793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.368594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16212 KachelY 11476 -0.03298059 0.82673793 -1.889649 47.368594
    Oben rechts KachelX + 1 16213 KachelY 11476 -0.03278884 0.82673793 -1.878662 47.368594
    Unten links KachelX 16212 KachelY + 1 11477 -0.03298059 0.82660806 -1.889649 47.361153
    Unten rechts KachelX + 1 16213 KachelY + 1 11477 -0.03278884 0.82660806 -1.878662 47.361153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82673793-0.82660806) × R
    0.000129869999999976 × 6371000     		dl = 827.40176999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82673793-0.82660806) × R
    0.000129869999999976 × 6371000     		dr = 827.40176999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03298059--0.03278884) × cos(0.82673793) × R
    0.000191749999999997 × 0.677279348882573 × 6371000     		do = 827.391035809384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03298059--0.03278884) × cos(0.82660806) × R
    0.000191749999999997 × 0.67737489190075 × 6371000     		du = 827.507754910452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82673793)-sin(0.82660806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677279348882573-0.67737489190075)×R²
    abs(-0.03278884--0.03298059)×9.55430181767136e-05×R²
    0.000191749999999997×9.55430181767136e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.55430181767136e-05×40589641000000     		ar = 684633.095268333m²