Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16210 / 11470
↖ ↑ ↗
← N 47.413220°
W  1.911621°		 ← 826.69 m → N 47.413220°
W  1.900635°		 →
↑
826.70 m
↓
↑
826.70 m
↓
N 47.405785°
W  1.911621°		 ← 826.81 m →
683 474 m²		 N 47.405785°
W  1.900635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494705200195312 y=0.350051879882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494705200195312 × 215)
    floor (0.494705200195312 × 32768)
    floor (16210.5)     		tx = 16210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350051879882812 × 215)
    floor (0.350051879882812 × 32768)
    floor (11470.5)     		ty = 11470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16210 / 11470 ti = "15/16210/11470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16210/11470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16210 ÷ 215
    16210 ÷ 32768     		x = 0.49468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11470 ÷ 215
    11470 ÷ 32768     		y = 0.35003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.0106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03336408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35003662109375 × 2 - 1) × π
    0.2999267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.942247698931824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03336408} λ = -0.03336408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.942247698931824))-π/2
    2×atan(2.56574195738222)-π/2
    2×1.19915656525582-π/2
    2.39831313051163-1.57079632675     		φ = 0.82751680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03336408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.911621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82751680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.413220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16210 KachelY 11470 -0.03336408 0.82751680 -1.911621 47.413220
    Oben rechts KachelX + 1 16211 KachelY 11470 -0.03317233 0.82751680 -1.900635 47.413220
    Unten links KachelX 16210 KachelY + 1 11471 -0.03336408 0.82738704 -1.911621 47.405785
    Unten rechts KachelX + 1 16211 KachelY + 1 11471 -0.03317233 0.82738704 -1.900635 47.405785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82751680-0.82738704) × R
    0.00012976000000009 × 6371000     		dl = 826.700960000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82751680-0.82738704) × R
    0.00012976000000009 × 6371000     		dr = 826.700960000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03336408--0.03317233) × cos(0.82751680) × R
    0.000191749999999997 × 0.676706108632656 × 6371000     		do = 826.690743020405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03336408--0.03317233) × cos(0.82738704) × R
    0.000191749999999997 × 0.676801639156542 × 6371000     		du = 826.807446857957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82751680)-sin(0.82738704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676706108632656-0.676801639156542)×R²
    abs(-0.03317233--0.03336408)×9.55305238860005e-05×R²
    0.000191749999999997×9.55305238860005e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.55305238860005e-05×40589641000000     		ar = 683474.271424509m²