Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16209 / 11471
↖ ↑ ↗
← N 47.405785°
W  1.922607°		 ← 826.81 m → N 47.405785°
W  1.911621°		 →
↑
826.89 m
↓
↑
826.89 m
↓
N 47.398349°
W  1.922607°		 ← 826.92 m →
683 729 m²		 N 47.398349°
W  1.911621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494674682617188 y=0.350082397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494674682617188 × 215)
    floor (0.494674682617188 × 32768)
    floor (16209.5)     		tx = 16209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350082397460938 × 215)
    floor (0.350082397460938 × 32768)
    floor (11471.5)     		ty = 11471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16209 / 11471 ti = "15/16209/11471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16209/11471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16209 ÷ 215
    16209 ÷ 32768     		x = 0.494659423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11471 ÷ 215
    11471 ÷ 32768     		y = 0.350067138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.01068115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03355583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350067138671875 × 2 - 1) × π
    0.29986572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.942055951333344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03355583} λ = -0.03355583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.942055951333344))-π/2
    2×atan(2.56525002968805)-π/2
    2×1.19909168229085-π/2
    2.39818336458169-1.57079632675     		φ = 0.82738704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03355583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.922607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82738704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.405785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16209 KachelY 11471 -0.03355583 0.82738704 -1.922607 47.405785
    Oben rechts KachelX + 1 16210 KachelY 11471 -0.03336408 0.82738704 -1.911621 47.405785
    Unten links KachelX 16209 KachelY + 1 11472 -0.03355583 0.82725725 -1.922607 47.398349
    Unten rechts KachelX + 1 16210 KachelY + 1 11472 -0.03336408 0.82725725 -1.911621 47.398349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82738704-0.82725725) × R
    0.000129789999999907 × 6371000     		dl = 826.892089999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82738704-0.82725725) × R
    0.000129789999999907 × 6371000     		dr = 826.892089999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03355583--0.03336408) × cos(0.82738704) × R
    0.000191750000000004 × 0.676801639156542 × 6371000     		do = 826.807446857987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03355583--0.03336408) × cos(0.82725725) × R
    0.000191750000000004 × 0.676897180367001 × 6371000     		du = 826.924163750677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82738704)-sin(0.82725725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676801639156542-0.676897180367001)×R²
    abs(-0.03336408--0.03355583)×9.55412104592934e-05×R²
    0.000191750000000004×9.55412104592934e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.55412104592934e-05×40589641000000     		ar = 683728.794857358m²