Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16207 / 11475
↖ ↑ ↗
← N 47.376035°
W  1.944580°		 ← 827.23 m → N 47.376035°
W  1.933594°		 →
↑
827.34 m
↓
↑
827.34 m
↓
N 47.368594°
W  1.944580°		 ← 827.35 m →
684 448 m²		 N 47.368594°
W  1.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494613647460938 y=0.350204467773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494613647460938 × 215)
    floor (0.494613647460938 × 32768)
    floor (16207.5)     		tx = 16207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350204467773438 × 215)
    floor (0.350204467773438 × 32768)
    floor (11475.5)     		ty = 11475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16207 / 11475 ti = "15/16207/11475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16207/11475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16207 ÷ 215
    16207 ÷ 32768     		x = 0.494598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11475 ÷ 215
    11475 ÷ 32768     		y = 0.350189208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.01080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03393932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350189208984375 × 2 - 1) × π
    0.29962158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.941288960939423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03393932} λ = -0.03393932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.941288960939423))-π/2
    2×atan(2.5632832618997)-π/2
    2×1.19883205883504-π/2
    2.39766411767008-1.57079632675     		φ = 0.82686779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03393932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.944580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82686779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.376035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16207 KachelY 11475 -0.03393932 0.82686779 -1.944580 47.376035
    Oben rechts KachelX + 1 16208 KachelY 11475 -0.03374758 0.82686779 -1.933594 47.376035
    Unten links KachelX 16207 KachelY + 1 11476 -0.03393932 0.82673793 -1.944580 47.368594
    Unten rechts KachelX + 1 16208 KachelY + 1 11476 -0.03374758 0.82673793 -1.933594 47.368594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82686779-0.82673793) × R
    0.000129860000000037 × 6371000     		dl = 827.338060000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82686779-0.82673793) × R
    0.000129860000000037 × 6371000     		dr = 827.338060000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03393932--0.03374758) × cos(0.82686779) × R
    0.000191740000000003 × 0.677183801799395 × 6371000     		do = 827.23116836236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03393932--0.03374758) × cos(0.82673793) × R
    0.000191740000000003 × 0.677279348882573 × 6371000     		du = 827.347886342089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82686779)-sin(0.82673793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677183801799395-0.677279348882573)×R²
    abs(-0.03374758--0.03393932)×9.55470831782712e-05×R²
    0.000191740000000003×9.55470831782712e-05×6371000²
    0.000191740000000003×9.55470831782712e-05×40589641000000     		ar = 684448.113580378m²